Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

x^x=y^y, x nie równe y

Równania i nierówności Układy równań

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.06.2021 - 17:01

x^x=y^y

 

założenia x>0,            y>0,          x\neq y

 

Niech          x=ay

 

zatem

 

(ay)^{ay}=y^y     obustronnie do potęgi \frac{1}{y}

 

(ay)^a=y

 

a^a\cdot y^a=y  

 

a^a=y^{1-a}                   obustronnie do potęgi \frac{1}{1-a}

 

(a^a)^{\frac{1}{1-a}}=y

 

y=a^{\frac{a}{1-a}}           więc      x=ay=a\cdot a^{\frac{a}{1-a}}=a^{\frac{1-a+a}{1-a}}=a^{\frac{1}{1-a}}

 

\{x=a^{\frac{1}{1-a}}\\ y=a^{\frac{a}{1-a}}

 

przykład

 

a=3

 

x=3^{\frac{1}{1-3}}=\frac{1}{\sqrt{3}}

 

y=3^{\frac{3}{1-3}}=\frac{1}{3\sqrt{3}}

 

x^x=(\frac{1}{\sqrt{3}})^{\frac{1}{\sqrt{3}}}\approx 0,7282273028722097195045434280334788674580752002720560845237201224

y^y=(\frac{1}{3\sqrt{3}})^{\frac{1}{3\sqrt{3}}}\approx 0,7282273028722097195045434280334788674580752002720560845237201224


 

 

 


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.06.2021 - 17:27

x^x=y^y

 

x^x=y^y             logarytmujemy

 

ln(x^x)=ln(y^y)

 

x\cdot ln (x)=y\cdot ln(y)                 możemy inaczej zapisać y: jako:     y=e^{ln(y)}     więc

 

x\cdot ln (x)=ln(y)\cdot e^{ln(y)}        obkładamy funkcją W lamberta

 

W(x\cdot ln (x))=W\(ln(y)\cdot e^{ln(y)}\)

 

W(x\cdot ln (x))=ln(y)                      obkładamy funkcją wykładniczą

 

e^{W(x\cdot ln (x))}=y

 

np.

 

x=0,2

 

x^x=(0,2)^{0,2}\approx 0,7247796636776955314706140008815740907141798346041898684537

 

y= e^{(0,2*product log(0,2))}\approx 0.5665973048267657250506515338021951184436301507572241274639    obliczenia wolfram

 

y^y=0.56659730^{0.56659730}\approx 0,7247796636776955314706140008815740907141798346041898684537


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 18.06.2021 - 13:16

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską