Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Jeden do potęgi x równe a (1^x=a, [TeX]a\neq 1[/TeX])

1^x=a 1^x=2 1^x=3 complex number

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4060 postów
3341
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 07.06.2021 - 22:46

Zapewne słyszeliście, że jeden do każdej potęgi daje jeden... do każdej rzeczywistej :whistle:  ale w zbiorze liczb zespolonych dzieją się rzeczy których nie śniło się filozofom :dancer:

 

1^x=a        zlogarytmujmy

 

log_1 (1^x)=log_1 (a)

 

x=log_1 (a)     zmieńmy podstawę

 

x=\frac{ln(a)}{ln(1)}

 

Teraz zapiszmy 1 w innej postaci 1=e^{i(0+2\pi\cdot n)}       n oczywiście jest liczbą całkowitą dla wygody kolejnych obliczeń różną od 0

 

x=\frac{ln(a)}{ln(e^{i(0+2\pi\cdot n)})}=\frac{ln(a)}{i(0+2\pi\cdot n)}=\frac{ln(a)}{i\cdot 2\pi n}

 

pozbywamy się i z mianownika

 

x=\frac{ln(a)}{i\cdot 2\pi n}=\frac{i\cdot ln(a)}{i^2\cdot 2\pi n}=-\frac{i\cdot ln(a)}{2\pi n}

 

zatem

 

1^{-\frac{i\cdot ln(a)}{2\pi n}}=a

 

np.

 

 

1^{-\frac{i\cdot ln(2)}{2\pi n}}=2

 

1^{-\frac{i\cdot ln(3)}{2\pi n}}=3

 

Możecie się o tym przekonać obliczając

 

1=3^{\frac{1}{x}}

 

pre_1623102053__logarytmiczek.jpg

:)

 

Znalazłem jeszcze ciekawe przekształcenie w Wolframie które ułatwia "obliczenia".

pre_1623134372__1do_x.jpg

więc dla n=1 mamy wynik 2 :shifty:


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 08.06.2021 - 07:45

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55