Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

funkcje tworzące

Teoria liczb

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 wronek

wronek

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.05.2021 - 20:44

Znaleść przy użyciu funkcji tworzących jawny wzór na n-ty wyraz ciągu:

b1=3 ,  b2 =1  ,  bn+2=6bn+1 - 9bn
b1=3,b2=1,bn+2=6bn+19bn


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 wronek

wronek

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.05.2021 - 21:06

Znaleść przy użyciu funkcji tworzących jawny wzór na n-ty wyraz ciągu:

b1 =3 , b2 =1, bn+2 =6bn+1 -9bn
b1=3,b2=1,bn+2=6bn+19bn


  • 0

#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3137 postów
424
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 20.05.2021 - 20:06

Tego nie da się znaleść :(


  • 0

#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.06.2023 - 18:02

b_{1} = 3 ,\qquad b_{2} = 1, \qquad b_{n+2} = 6b_{n+1} - 9b_{n}

 

Pierwszym zdefiniowanym wyrazem ciągu jest b_{1}

więc definiując funkcję tworzącą indeksujemy wyrazy szeregu potęgowego od jedynki

 

B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}

 

Równanie rekurencyjne zachodzi dla n \geq 1

więc wstawiając funkcję tworzącą do równania rekurencyjnego zaczynamy indeksować szereg od jedynki

 

\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n}=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(6b_{n+1}-9b_{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n} = 6\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n}\right) - 9\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{x^2}\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n+2}\right) = \frac{6}{x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n+1}\right) - 9\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+2}x^{n+2} = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n+1}x^{n+1}\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-b_{1}x-b_{2}x^2 = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-b_{1}x\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-3x-x^2 = 6x\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}-3x\right) - 9x^2\left(\sum_{n=1}^{\infty}b_{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right) - 3x - x^2 = 6xB\left(x\right) -18x^2 - 9x^2B\left(x\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right)\left(1-6x+9x^2\right)=-17x^2+3x\\</p>\\<p>B\left(x\right) = \frac{-17x^2+3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p></p>\\<p>

 

</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}3^nx^n=\frac{3x}{1-3x}\\</p>\\<p>\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\sum_{n=1}^{\infty}3^nx^n\right)=\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(\frac{3x}{1-3x}\right)\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} = \frac{3\left(1-3x\right)-3x\cdot\left(-3\right)}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} = \frac{3 - 9x +9x}{\left(1-3x\right)^2}</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n-1} =\frac{3}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>\sum_{n=1}^{\infty}n3^nx^{n} =\frac{3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>

 

</p>\\<p>\frac{-17x^2+3x}{\left(1-3x\right)^2}=\frac{Ax}{1-3x}+\frac{Bx}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>-17x^2+3x=Ax\left(1-3x\right)+Bx\\</p>\\<p>-17x+3 = A\left(1-3x\right)+B\\</p>\\<p>-17x+3 = -3Ax+A+B\\</p>\\<p>\begin{cases}-3A=-17\\A+B=3\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}A=\frac{17}{3}\\B=-\frac{8}{3}\end{cases}\\</p>\\<p></p>\\<p></p>\\<p>

 

</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{3}\cdot\frac{x}{1-3x}-\frac{8}{3}\cdot\frac{x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{9}\cdot\frac{3x}{1-3x}-\frac{8}{9}\cdot\frac{3x}{\left(1-3x\right)^2}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\frac{17}{9}\cdot\left(\sum_{n=1}^{\infty}3^{n}x^{n}\right)-\frac{8}{9}\left(\sum_{n=1}^{\infty}n\cdot3^{n}x^{n}\right)\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(\frac{17}{9}\cdot 3^{n} - \frac{8}{9}n\cdot3^{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>B\left(x\right)=\sum_{n=1}^{\infty}{\left(-\frac{1}{9}\left(8n-17\right)\cdot 3^{n}\right)x^{n}}\\</p>\\<p>b_{n} = -\frac{1}{9}\left(8n-17\right)\cdot 3^{n}\\</p>\\<p></p>\\<p>


  • 0





Tematy podobne do: funkcje tworzące     x