Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

PIerwiastek z iloczynu 10000 10001 10002 10003 plus 1

Równania i nierówności Układy równań wzory skróconego mnożenia

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4024 postów
3299
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.03.2021 - 14:20

\sqrt{10000 \cdot 10001 \cdot 10002 \cdot 10003+1}

 

Swego czasu widziałem podobne zadanie ale sposób rozwiązania wydał mi się mało przejrzysty więc postanowiłem coś w tej materii zamieścić

 

\sqrt{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4+1}=\sqrt{25}=5

 

\sqrt{2\cdot 3\cdot 4\cdot 5+1}=\sqrt{121}=11

 

\sqrt{3\cdot 4\cdot 5\cdot 6+1}=\sqrt{361}=19

 

Puki co iloczyn czterech kolejnych liczb naturalnych powiększony o 1 daje się spierwiastkować, czyżby zatem zawsze istniał pierwiastek z takiego wyrażenia?

 

rozważmy zatem

 

 \re{x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}

 

Mnożąc dwa środkowe "nawiasy" i dwa skrajne mamy

 

x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1=(x^2+3x)(x^2+3x+2)+1=(x^2+3x+1-1)(x^2+3x+1+1)+1

 

=(\re{x^2+3x+1}-1)(\bl{x^2+3x+1}+1)+1

 

Ze szkoły średniej (lub gimnazjum) pamiętamy wzór (a-b)(a+b)=a^2-b^2   więc

 

=(x^2+3x+1)^2-1^2+1=(x^2+3x+1)^2

 

Zatem

 

\sqrt{x\cdot (x+1)\cdot (x+2)\cdot (x+3)+1}=\sqrt{(x^2+3x+1)^2}=x^2+3x+1     Z wiadomych względów pomijam drugie rozwiązanie (ujemne)

 

A co za tym idzie mamy

\sqrt{10000\cdot 10001\cdot 10002\cdot 10003+1}=10000^2+3\cdot 10000+1=100030001

 

------------

\sqrt{100\cdot 101\cdot 102\cdot 103+1}=100^2+3\cdot 100+1=10301


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 30.03.2021 - 10:32

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55