Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Zadanie z Sumą n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego.

Ciągi wektorowe i liczbowe Szeregi

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 28 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2021 - 20:28

Suma n początkowych wyrazów ciągu geometrycznego (an) o ilorazie \frac{1}{2} jest 16 razy większy od sumy kolejnych wyrazów tego ciągu. Oblicz pierwszy wyraz tego ciągu jeżeli a2n=640.

Próbowałem to obliczyć mniej więcej tak że : 
S_n=16(S_{2n}-S_n)\\S_n=16S_{2n}-16S_n\\17S_n=16S_{2n}

 

W takim razie 

 

17*a_1*\frac{1-(\frac{1}{2})^{n} }{1-\frac{1}{2} } = 16* a_1*\frac{1-(\frac{1}{2})^{2n} }{1-\frac{1}{2} }

 

\frac{1-(\frac{1}{2})^{n} }{1-(\frac{1}{2})^{2n}} = \frac{16}{17}

I nie wiem do końca co by tutaj zrobić. 


Wyznaczyłem również wzór na a1 ale nie wiem co zrobić z tym równaniem powyżej. 
a_{2n}= a_1*(\frac{1}{2} )^{2n-1}\\a_{2n} = a_1*\frac{1}{2^{2n-1}} \\a_1 = 640 * 2^{2n-1}

Ktoś byłby w stanie mi pomóc to dokończyć ?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 3125 postów
420
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 14.03.2021 - 20:34

\frac{1-\(\frac{1}{2}\)^n}{1-\(\frac{1}{2}\)^{2n}}=\frac{16}{17}

 

w mianowniku mamy różnicę kwadratów

 

1^2-\[\(\frac{1}{2}\)^n\]^2=\[1-\(\frac{1}{2}\)^n\]\cdot\[1+\(\frac{1}{2}\)^n\]

 

po podstawieniu i skróceniu otrzymamy

 

\frac{1}{1+\(\frac{1}{2}\)^n}=\frac{16}{17}

 

jeśli licznik i mianownik pomnożymy przez  2^n  to otrzymamy

 

\frac{2^n}{2^n+1}=\frac{16}{17}\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ 2^n=16\ \ \color{green}\ \Rightarrow\ \color{black}\ \ n=4

 

a_1=640\cdot 2^7=81920


  • 1

#3 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 28 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.03.2021 - 19:22

Dziękuję!


  • 0