Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
     GIMNAZJUM    

Pięciokąt foremny konstrukcja

Planimetria i przekształcenia geometryczne

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.01.2021 - 18:59

Na wikipedii są podane konstrukcje przy podanej długości promienia

 

Ja bazując na konstrukcjach dostępnych w tablicach Mizerskiego

wyprowadziłem dwie konstrukcje gdy dana jest długość boku

 

Skrótowy opis konstrukcji

 

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danym boku

Sposób pierwszy

Wykorzystanie tego że
   kąt 108 jest przyległy do kąta 72
   trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
   wartości cosinusa kąta 72 do ustalenia przykładowych długości boków trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
1. Konstrukcja odcinka o długości \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a
   i przyjęcie go jako przeciwprostokątną trójkąta prostokątnego o kątach 18 72 90
2. Przeciwprostokątna i przedłużenie przyprostokątnej przyległej do kąta 72 tworzy kąt 108
3. Przyjęcie odcinka danej długości jako boku trójkąta
   (okrąg o środku w wierzchołku kąta 108 i promieniu równym odcinkowi danej długości)   
4. Środkowe odcinków wyznaczają środek okręgu
5. Na okręgu odmierzyć pozostałe odcinki o danej długości

Sposób drugi

Konstrukcja trójkąta równoramiennego o kątach 54 54 72
i danym boku będącym również bokiem pięciokąta

Wykorzystanie
        wartości sinusa kąta 54 do ustalenia prostych zawierających ramiona trójkąta równoramiennego

   Konstrukcja odcinka o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a 
   i opuszczene go na symetralną odcinka o długości a prostopadłego do prostej zawierającej odcinek o długości a
   Proste zawierające odcinek o długości \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2} - 1\right)\cdot a poprowadzony z obydwu końców boku pięciokąta przecinają się w punkcie
   który jest brakującym wierzchołkiem trójkąta równoramiennego a zarazem środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

 

Teraz opiszę kroki jakie wykonałem w programie Geogebra

 

Sposób 1.

Konstrukcja pięciokąta foremnego o danej długości boku
Pierwszy etap - konstrukcja trójkąta prostokątnego
gdzie jeden z kątów ostrych jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta
Z wartości cosinusa 72 stopni wnosimy że przeciwprostokątna tego
pomocniczego trójkąta ma długość \frac{1+\sqrt{5}}{2} \cdot a

1.  Przez dane punkty A oraz B kreślimy prostą np f
2.  Kreślimy okrąg c o środku w punkcie B i promieniu AB
3.  Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej f (różnym od A)
4.  Kreślimy symetralną g odcinka BC
5.  Niech punkt D będze środkiem odcinka BC
6.  Kreślimy okrąg d o środku w punkcie D i promieniu AB
7.  Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu d i prostej g
8.  Przez punkty B oraz E kreślimy prostą h
9.  Kreślimy okrąg e o środku w punkcie E i promieniu BD
10. Niech punkt F będzie przecięciem okręgu e i prostej h na przedłużeniu odcinka BE
11. Kreślimy okrąg k o środku w punkcie B i promieniu BF
12. Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu k i prostej G (punkty G oraz E leżą po tej samej stronie prostej F)
13. Przez punkty B oraz G kreślimy prostą i

Trójkąt BGD jest pomocniczym trójkątem prostokątnym gdzie GBD jest kątem przyległym do kąta wewnętrznego pięciokąta


Drugi etap - konstrukcja środka okręgu opisanego na pięciokącie

14. Niech punkt H będzie punktem przecięcia okręgu c i prostej h (punkty G oraz H jeżą po tej samej stronie prostej f)
    Teraz mamy dwa boki pięciokąta
15. Kreślimy symetralną j odcinka BH
16. Kreślimy symetralną l odcinka AB
17. Niech punkt I pęcie punktem przecięcia symetralnych j oraz l
    Punkt I jest środkiem okręgu opisanego na pięciokącie

Trzeci etap - wyznaczenie dwóch pozostałych wierzchołków pięciokąta

18. Kreślimy okrąg p o środku w punkcie I oraz promieniu AI
19. Kreślimy okrąg q o środku w punkcie A i promieniu AB
20. Niech punkt J będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu q
21. Kreślimy okrąg r o środku w punkcie H i promieniu AB
22. Niech punkt K będzie punktem przecięcia okręgu p oraz okręgu r
23. Punkty A,B,H,K,J są wierzchołkami poszukiwanego pięciokąta foremnego

Sposób 2.
 

Przez punkty A i B prowadzimy prostą p1
Prowadzimy prostą p2 prostopadła do prostej p1 i przechodzącą przez punkt B
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AB
Niech punkt C będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AB) i prostej p2
Niech prosta p3 będzie symetralną odcinka BC
Punkt D środek odcinka BC (przecięcie prostych p2 oraz p3)
Przez punkty A i D prowadzimy prostą p4
Kreślimy okrąg o środku w D i promieniu BD
Niech punkt E będzie punktem przecięcia okręgu O(D,BD) i prostej p4
Kreślimy okrąg o środku w A i promieniu AE
Kreślimy okrąg o środku w B i promieniu AE
Niech punkt F będzie punktem przecięcia okręgu O(A,AE) i prostej p3
Niech punkt G będzie punktem przecięcia okręgu O(B,AE) i prostej p3
Przez punkty A i F prowadzimy prostą p5
Przez punkty B i G prowadzimy prostą p6
Niech punkt H będzie punktem przecieęcia prostych p5 i p6
Kreślimy okrąg o środku w H i promieniu AH
Na okręgu O(H,AB) odkładamy odcinek AB



Ktoś chętny aby wyedytować wikipedię aby dodać opis konstrukcji dla danej długości boku ?


  • 1

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55