Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Logarytm z liczby ujemnej - czy istnieje?


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3986 postów
3279
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.11.2020 - 11:16

W niejednym podręczniku do matematyki znajdziemy takie "obostrzenia" dotyczące logarytmów (stosowne zdjęcie)

pre_1605088739__logarytm.jpg

i rzeczywiście jeżeli mamy do policzenia

 

log_{2}(-32)=x   to   2^x=(-32)   no jakoś nam się to nie klei bo dodatnia liczba do każdej potęgi rzeczywistej daje nam liczbę dodatnią

 

ale

 

log_{(-2)}(-32)=x           (-2)^x=(-32)      i tu niemal od razu możemy wskazać, że x=5         CZYLI CO JEDNAK MOŻNA? DA SIĘ LICZYĆ DLA UJEMNYCH?

 

 

Kluczowe jest tu pewne słowo  - "rzeczywiste" bo w zbiorze liczb zespolonych takich obostrzeń nie ma

 

Więc jak to z tym jest:

 

na początek mała powtórka (wzory na logarytmach naturalnych bo mniej pisania :dancer2: )

 

ln(ab)=log(a)+log(b)

 

zamiana podstawy log_a b=\frac{ln a}{ln b}

 

czyli ln(-32)=ln(-1\cdot 32)=ln(-1)+ ln(32)   i tak możemy z każdą liczbą ujemną postąpić ln(32) jako mało ciekawy pozostawmy w spokoju a zajmijmy się tym ln(-1)

 

I tu kolejna powtórka - tym razem coś o postaciach i sposobach zapisu liczby zespolonej

 

pre_1605089548__zesp1.jpg

 

 

pre_1605089622__zesp2.jpg

dla -1 |z|=1   \phi=\pi   ale pamietajmy że możemy zrobić dodatkowe "kółka" czyli kąt należy lekko zmodyfikować o 2\pi n  n- całkowite

 

-1= 1\cdot e^{i\cdot \pi+2\pi \cdot n}

 

czyli wracając do postaci wykładniczej liczby zespolonej

 

ln(-1)=ln(1\cdot e^{i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)})=i\cdot (\pi+2\pi \cdot n)=i\pi (1+2 n)=i\pi(2n+1)

 

Czyli Jeżeli x jest liczbą dodatnią to

\re\fbox{ln(-x)=ln(-1\cdot x)=ln(-1)+ln(x)=i\pi(2 n+1)+ln(x)}

 

 

I wracając do początkowego przykładu

 

log_{2}(-32)            zamieńmy podstawy by mieć logarytm naturalny i byśmy mogli skorzystać z powyższego wzoru

 

log_{2}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}

 

lekko jeszcze uprościmy

 

=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(2^5)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5

 

opcjonalnie zgodnie z utartym sposobem zapisu liczb zespolonych

 

\fbox{log_{2}(-32)=\frac{i\pi(2 n+1)}{ln(2)}+5=5+\frac{\pi(2 n+1)}{ln(2)}\cdot i}

 

Na zakończenie przykład w którym "nam" wszytko grało :)

 

log_{(-2)}(-32)=\frac{ln(-32)}{ln(-2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}       musimy tu użyć innej zmiennej n, m ponieważ one nie muszą być sobie równe więc trzeba to uwzględnić

 

=\frac{i\pi(2 n+1)+ln(32)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}=\frac{i\pi(2 n+1)+5ln(2)}{i\pi(2 m+1)+ln(2)}

 

dla n=2 i m=0 mamy

 

=\frac{i\pi(2 \cdot 2+1)+5ln(2)}{i\pi(2 \cdot 0+1)+ln(2)}=\frac{5i\pi+5ln(2)}{i\pi+ln(2)}=5

 

Ale jest tylko jedno z wielu rozwiązań w zbiorze liczb zespolonych.

 

 

Jako zagadkę i zadanie zostawiam - jak dobrać m,n :)

 

log_{(-2)}(-16)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 11.11.2020 - 23:14

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55