Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
- - - - -

Całka oznaczona f(x)/(f(x)+f(a+b-x))

całkaoznaczona

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3973 postów
3275
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.10.2020 - 14:22

Jakiś czas temu napotkałem taką oto całkę

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx

 

Można popróbować ją rozwiązań ale nie należny do tych "szybkich".

 

Poniżej zaprezentuje inne podejście wraz z omówieniem


Oznaczmy całkę

 

W=\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx

 

wykonajmy podstawienie a+b-x=t       mamy więc   -dx=dt   oraz  x=a+b-t

 

W=\int_b^a \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)}\cdot (-dt)= \int_a^b \frac{f(a+b-t)}{f(t)+f(a+b-t)} dt

 

zastąpmy zmienną po której całkujemy na x (co nie zmienia wyniku)

 

W=\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx

 

Możemy je dodać do siebie (wyjściowa i tą z linijki wyżej)

 

\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx+\int_a^b \frac{f(a+b-x)}{f(x)+f(a+b-x)} dx=2W

 

\int_a^b \frac{f(x)+f(a+b-x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=2W

 

\int_{a}^{b}1dx=2W

 

x|^b_a=2W

 

b-a=2W więc \frac{b-a}{2}=W

 

\re \fbox{\int_a^b \frac{f(x)}{f(a+b-x)+f(x)}dx=\frac{b-a}{2}}

 

wracając do wyjściowej całki z zadania

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(3+7-x)^3}dx zatem zgodnie ze wzorem powyzej

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{7-3}{2}=2

 

------------

A teraz tradycyjnie

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx

 

\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\int \frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}dx

 

bo

 

\frac{x^3}{x^3+\left(10-x\right)^3}=\frac{x^3}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{10x^2-\frac{100x}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{\frac{200x}{3}-\frac{1000}{3}}{30x^2-300x+1000}=\frac{x}{30}+\frac{1}{3}+\frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)}

 

Zasadniczo więc do policzenia

 

\int \frac{20\left(x-5\right)}{3\left(3x^2-30x+100\right)} dx

 

u=9 x^2- 90 x + 300          du=\left(9 x^{2} - 90 x + 300\right)^{\prime }dx = \left(18 x - 90\right) dx

 

\int{\frac{20 x - 100}{9 x^{2} - 90 x + 300} d x} = \int{\frac{10}{9 u} d u=\frac{10}{9}ln|9 x^2- 90 x + 300|+C=\frac{10}{9}ln|3\cdot (3 x^2- 30 x + 100)|+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{10}{9}ln(3)+C=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+C_1

 

Resumując

 

\int \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x+C

 

\int_3^7 \frac{x^3}{x^3+(10-x)^3}dx=\frac{10}{9}ln|3 x^2- 30 x + 100|+\frac{x^2}{60}+\frac{1}{3}x|_3^7=2


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.10.2020 - 13:00

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55