Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Jeden jest liczbą pierwszą

Teoria liczb liczby pierwsze

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Zygmunt Tusiński

Zygmunt Tusiński

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.09.2020 - 17:38

Niestety miałem problem ze wstawieniem obrazów do tego posta dlatego załaczam pdfa w złej jakoś razem z obrazkami. 

 

...a szło to tak ;)

 

W tym roku wpadłem na pomysł, żeby zaprosić swoich kolegów z biura na urodzinowe ciasto poniższą zagadką:

 

Pierwsza nie pierwsza a druga pierwsza

Piątego z piątego wiersza

Symetrią dla różnicy suma binarnie

Do kuchni o sumie zdążajcie więc gwarnie

I bez uścisków*, bez zbędnej tyrady

Zasiądźmy razem do biesiady

 

*patrz: coronavirus

 

Na drugi dzień uzmysłowiłem sobie, że moja zagadka nie mogła zostać rozwiązana prawidłowo bo założyłem, że 1 jest liczbą pierwszą. Na drugi dzień, z lekkim wstydem, przyznałem się do błedu w nadziei, że ciasto zrekompensowało moją ignorancje. To zdarzenie zmusiło mnie do szperania po internecie i trafiłem na spiralę Ulama. To z kolei przypomniało mi jak zabijając nudne zajęcia szkolne tworzyłem swoją (nie wiem czy ktokolwiek inny wpadł na taki pomysł) spiralę złożoną z odcinków o rosnącej długości w taki sposób że długość odcinka była równa kolejnej liczbie. Nic cepcjalnego, arytmetyczny ciąg przedstawiony w przestrzeni dwuwymiarowej za pomocą polilinii, ale pomyślałem co by były gdybym zaznaczył na swojej spirali liczby pierwsze?

 

Powyżej pokazałem przykład jak tworzyć spiralę o N=3 bokach ale tak sprala może zostać utworzona dla dowolnego N. Zacząłem od niskich wartości N i na każdej spirali zaznaczyłem czerwonymi odcinkami liczby pierwsze.

 

Od razu można dostrzec pewne zależności rozkładu liczb pierwszych w zależności od N. Żeby to ustematyzować nazwałem każdy rząd R (można to samo przedstawić w formi tabelarycznej) spirali w kierunku jej tworzenia (przeciwnym do kierunku ruchu wskazówek zegara) jak na rysunku poniżej. 

 

Jeżeli również nazwiemy:

PR - jako rząd z liczbami pierwszymi (liczba rzedów z liczbami pierwszymi)

SR - jako rząd z tylko jedną liczbą pierwszą

PN - liczba pierwsza w SR

RD - jako gęstość rzędów w spirali RD=PR/N

to dla pierwszych 8 N otrzymamy wynik w formie tabelarycznej jak poniżej:

 

Intuicja podpowiada, że nalyży szukać taki wzorów, takich liczb N dla których RD będzie jak najmniejsze. Analizując wyższe N doszedłem do wniosku, że jeżeli N będzie równa iloczynowi kolejnych liczb pierwszych to rzędy PR będą najciasniej upakowane. Można porównać np N=210 i N=330. N210 można przedstawić jako iloczyn 1*2*3*5*7 a N330 jako 1*2*3*5*11. W obu przypadkach mam 5 liczb pierwszych (z premedytacją nazywając 1 liczbą pierwszą) ale RD330=0.2424 a RD210=0.2286.

 

Idąc tym tropem zajmiemy się teraz N równymi iloczynami kolejnych liczb pierwszych. Dla ułatwienia (przepraszam matematyków w tym kroku) nazwijmy Pn! jako iloczyn kolejnych liczb pierwszych a (Pn-1)! jako 1*(2-1)*(3-1)*(5-1)*...*(Pn-1) wtedy

 

Nn=Pn!

 

PRn=(Pn-1)!

 

RDn=Pn!/(Pn-1)!

 

W tabeli poniżej zestawiono wyniki dla n=22, P22=73.

 

Łatwo można dowieść, że RD dla n=\infty jest rowna 0. Spirala w nieskończoności staje się linią prostą i można powiedzieć, że zaczyna się od linii prostej i na tej samej prostej się kończy wobec tego interesują nas N\in(1,\infty)

 

Można też zauważyć, że wzór rzędów liczb pierwszych dla N=30 PR(1, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29), SR(2, 3, 5) jest powielony dla wielokrotności N*b b-1 razy gdzie b>1. za wyjątkiem przypadków kiedy dla b równego liczbie pierwszej rząd R=b będzie rzędem SR. Rząd PR będzie pusty jeżeli nr rzędu R jest równy iloczynowi b i rzedowi ze zbioru PR30. Np dla N210 (30*7 to b=7 i jest liczbą pierwszą) SR=(2, 3, 5, 7)  jako, że 1*7=7 a rzędy 49, 77, 91, 119, 133, 161, 203 będą rzedami pustymi. Znając powyższe zasady liczby pierwsze mogą być znależione szukając we właściwym miejscu (rzędzie). To jeszcze nie daje nam możliwości określenia ilości liczb pierwszych dlatego wprowadzając DPR jako gęstość liczb pierwszych w rzędzie możemy skorelować to z gęstością rzędów w spirali. Można spostrzec, że DPR rośnie wraz z N - patrz tabela poniżej dla R1.

 

Szukanie największej gęstości liczb pierwszych jest jednym z możliwych sposobów na znalezienie reguły rządzącej tymi liczbami. Można sobie wyobrazić inne wzory zarówno jak w spirali tak i w samych rzędach. Na pewno liczba 1 chociażby z racji tego, że R1 jest zawsze PR zasługuje na miano liczby pierwszej a językowo nie ma liczby bardziej pierwszej niż jeden ;)

 

Dla wszystkich, którzy chcą rozwiązać zagadkę mała podpowiedź: zaproszenie zostało wysłane piątego marca ;)

 

 

Załączone pliki


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55