Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Nie rozumiem pochodnej.

Funkcje

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
16 odpowiedzi w tym temacie

#1 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 01:51

Witam !
Mam pytanie bo rozumiem po części że pochodna oblicza pewien punkt np jak mamy średnią prędkość to pochodna oblicza daną prędkość chwilową w danym czasie (czyli precyzyjnie)
Ale nie rozumiem jednego Bo patrząc na np taki wykres (załączony poniżej) 
To łatwo jest stwierdzić wykres średniej, oraz sam wykres funkcji. Ale nie rozumiem wykresu pochodnej bo jak np damy inny argument to kompletnie się nie oddaje tego co wykres pokazuje bo ten wykres pochodnej pokazuje tylko 1 punkt więc dla każdego innego punktu mam tworzyć inną pochodną ? 

Nie wiem czy to jasno napisałem więc napiszę to trochę inaczej. 
Wykres pochodnej pokazuje precyzyjnie 1 punkt ale jak np chcę inny punkt tego wykresu to muszę napisać nowy wzór do pochodnej ? Ponieważ np ten sam argument x = 2 dla funkcji f(x) oraz f'(x) to y mają kompletnie inne (nie licząc tego jednego punktu gdzie mają wspólne). 

Nie rozumiem kompletnie funkcji pochodnej w tym momencie. Wiem tylko tyle że pokazuje konkretną wartość funkcji w konkretnym czasie/argumencie

Dla przykłady np wypiszemy funkcję f(x) = x^2-2x+3
W takim razie \lim_{h\to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{(x+h)^2-2(x+h)+3-x^2+2x-3}{h} = \lim_{h\to 0} \frac{h^2 +2hx-2h}{h} = \lim_{h\to 0} (h+2x-2) = 2x-2

Więc skoro mam np x = 2 to 2x-2 = 2 a z normalnego wzoru to mamy f(x) = x^2-2x+3 = 4-4+3 = 3. Więc tutaj chyba nie za bardzo pasuje ta funkcja ? 
Jak właściwie to wszystko działa ? 

Załączone miniatury

  • pochodna.gif
  • pochodna.gif

Użytkownik Xenon02 edytował ten post 01.06.2020 - 02:15

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 06:39

Wykresem pochodnej funkcji dla f(x)=x^2-2x+3 jest funkcja g(x)=f'(x)=2x-2 jak sam to wykazałeś licząc granicę. A to, że chcesz sobie na wykresie funkcji f(x) zobrazować pochodną to już inna sprawa.

 

 

 


Wykres pochodnej pokazuje precyzyjnie 1 punkt ale jak np chcę inny punkt tego wykresu to muszę napisać nowy wzór do pochodnej ?

 

Nie, wzór pochodnej jest taki sam a tylko wartość będzie inna bo podstawiasz inny argument.

tj.masz f'(x)=2x-2

 

wartość pochodnej dla x_1=3 wynosi 4

wartość pochodnej dla x_2=1 wynosi 0

 

To co rysujesz to uproszczona interpretacja i o zgrozo prawie zawsze jest błędna(wizualnie). tj. prawdziwe "wizualne" wartości pochodnej (ale widziane na przykładzie funkcji pierwotnej) są widoczne zasadniczo tylko dla funkcji afinicznej.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.06.2020 - 10:54

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3123 postów
1448
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 09:06

Trzeba rozróżniać  dwa pojęcia funkcja pochodnej i wartość pochodnej funkcji   punkcie. 

 

Pierwsze z tych pojęć jest funkcją, drugie liczbą.

 

Jeżeli w każdym punkcie należącym do dziedziny pochodnej funkcji, istnieje pochodna funkcji  w punkcie, to mówimy, że została określona  pochodna  funkcji (funkcja pochodnej).

 

Pierwsze z tych pojęć odnoszące się do punktu jest liczbą, drugie odnoszące się do przedziału jest funkcją.

 

Pochodna  funkcji w punkcje jest tangensem miary kąta nachylenia kąta, jaki tworzy styczna do wykresu funkcji w tym punkcie i określa przyrost wartości funkcji w stosunku do przyrostu argumentu w tym punkcie. 

 

Pochodna funkcji   określa szybkość przyrostu wartości funkcji w stosunku do argumentu w odniesieniu do przedziału.


Użytkownik janusz edytował ten post 01.06.2020 - 10:10

  • 0

#4 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 10:15

Wykresem pochodnej funkcji dla f(x)=x^2-2x+3 jest funkcja g(x)=f'(x)=2x-2 jak sam to wykazałeś licząc granicę. A to, że chcesz sobie na wykresie funkcji f(x) zobrazować pochodną to już inna sprawa.

 

 

 

 

Nie, wzór pochodnej jest taki sam a tylko wartość będzie inna bo podstawiasz inny argument.

tj.masz f'(x)=2x-2

 

wartość pochodnej dla x_1=3 wynosi 4

wartość pochodnej dla x_2=1 wynosi 0

 

To co rysujesz to uproszczona interpretacja i o zgrozo prawie zawsze jest błędna(wizualnie). tj. prawdziwe "wizualne" wartości pochodnej (ale widziane na przykładzie funkcji pierwotnej) są widoczne zasadniczo tylko dla funkcji afinicznej.

Wiem że wizualnie będzie to prawdopodobnie błędne, ale podstawiałem to do konkretnych liczb. 

Tak jak to pisałem wcześniej,  f(x) = x^2-2x+3 = 4-4+3 = 3 oraz 2x-2 = 2 dla x = 2. Widać że kompletnie się nie stykają, i sam nie wiem jak mam interpretować ten wynik. 
Na waszym forum znalazłem dosyć ciekawą odpowiedź gdzie np moja pochodna która wynosi 2 mówi że w bardzo małym odcinku (nie wiadomo jest co jest tą 1 jednostką) gdzie ta 1 jednostka jest tak mała że można powiedzieć ze nieskończenie czyli można uznać że ta sieczna dalej jest tylko widziany jest jako styczna. Tak to ja sobie wmawiam bo innego spostrzeżenia tutaj nie dostrzegam w szczególności że wynik powyżej mi nie pasuje ... A skoro jednostka jest tak bardzo mała dla przykładu 0,0002 a 0,00021 czyli 0,00021 - 0,002 = 0,00001*2 = 0,00002, czyli jeśli do dobrze interpretuję (to są przykładowe małe jednostki, wiem że są w nieskończoności coraz mniejsze) to co 0,00001 zmienia się wartość funkcji o 0,00002. 


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 11:05

A co ma Ci się stykać? Czym innym jest pochodna a czym innym styczna do wykresu

 

 

 


Pochodna funkcji w punkcje jest tangensem miary kąta nachylenia kąta,  jaki tworzy styczna do wykresu funkcji w tym punkcie i określa przyrost wartości funkcji w stosunku do przyrostu argumentu w tym punkcie.

Pochodna funkcji określa szybkość przyrostu wartości funkcji w stosunku do argumentu w odniesieniu do przedziału.

 

Patrz jak Ci wyjaśnił Janusz - masz wartość 3 (obliczyłeś dla argumentu 2) a to 2, które wychodzi dla wartości pochodnej to szybkość przyrostu wartości w stosunku do przyrostu argumentu.

 

Proponuję tak:

Narysuj dokładnie jakąś funkcję afiniczną (potocznie zwaną liniową) i obok też dokładnie wykres pochodnej dla tej funkcji (nie będzie trudno bo to funkcja stała). Obie nijak sie nie stykają a jedynie przecinają ALE zauważysz pewnie, że jeżeli zmienisz argument o 1 to wartość funkcji wzrośnie ci o tyle ile wynosi pochodna i to niezależnie z którego punktu zaczniesz (bo pochodna sjest stała więc ten przyrost (Pochodna funkcji określa szybkość przyrostu wartości funkcji w stosunku do argumentu w odniesieniu do przedziału.) jest stały.

 

Następnie narysuj funkcję kwadratową i obok wykres pochodnej. Teraz pochodna nie jest stała czyli te przyrosty wartości funkcji nie są stałe czyli w zależności od którego punktu zaczniesz to będziesz miał inny przyrost (czasem spadek).


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.06.2020 - 11:14

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 11:14

Czyli jak mam to interpretować ?
Że ten wynik 2 dla danego argumentu (x = 2) szybkość zmiany do następnej jednostki (która jest nieskończenie mała) wynosi 2 ? 
A jakbyśmy dali np x = 3 i wyjdzie inny wynik to oznacza że tam jest jeszcze inna szybkość zmiany ? 
Czyli można tak powiedzieć że każdy punkt ma inną prędkość zmiany .... 
 


  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 11:15

Tak właśnie tak

 

Czyli jak mam to interpretować ?
Że ten wynik 2 dla danego argumentu (x = 2) szybkość zmiany do następnej jednostki (która jest nieskończenie mała) wynosi 2 ? 
A jakbyśmy dali np x = 3 i wyjdzie inny wynik to oznacza że tam jest jeszcze inna szybkość zmiany ? 
Czyli można tak powiedzieć że każdy punkt ma inną prędkość zmiany .... 
 

 

https://pl.wikipedia...ochodna_funkcjitu masz nawet animację


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.06.2020 - 11:16

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 11:23

Czyli jak mam np tą funkcję powyżej czyli f(x) = x^2-2x+3 = 4-4+3 oraz 2x-2 = 2 i 2x-2 = 4 dla x = 2 oraz x = 3. Interpretując ten wykres to mam rozumieć że prędkość zmiany w x = 2 wynosi 2 ale nie jest to stały przyrost więc co każdy argument nawet bardzo mały ten przyrost będzie tylko inny. Trochę nie rozumiem sens takich pochodnych ale może to tylko ja tak dziwnie na to patrzę ...

 


  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 11:37

Takich pochodnych? Pochodna to pochodna

 

Pochodna określa przyrost wartości funkcji w stosunku do przyrostu argumentu w tym punkcie.

 

Masz funkcję kwadratową y=x^2 

 

Stoisz w punkcie (argument) x=3  i  przesuwasz się o 1 (do x=4) wartość zwiększyła się o 7 (z 9 do 16)

a teraz stoisz w puncie x=8 i też przesuwasz się do 1 do x=9, wartość zwiększyła się z o 17 a przyrost argumentu taki sam jak wcześniej.

 

Oczywiście ja tu się przesuwałem o +1, a jak już zdążyłeś zauważyć pochodna nas informuje o przyroście wartości funkcji gdy przyrost argumentu był "mały, dążący do 0".

 

Chciałem pokazać, że pochodna nie jest stała ( bo dla funkcji kwadratowej pochodna jest funkcją "liniową") więc masz za każdym razem inny przyrost.

 

Zobacz na animację z linku

 

 

 

 

 

p.s. Nie pisz tak  f(x) = x^2-2x+3 = 4-4+3 bo to jest źle. Po drugim znaku = masz obliczenie dla konkretnego x


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.06.2020 - 11:39

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 12:16

Takich pochodnych? Pochodna to pochodna

 

Pochodna określa przyrost wartości funkcji w stosunku do przyrostu argumentu w tym punkcie.

 

Masz funkcję kwadratową y=x^2 

 

Stoisz w punkcie (argument) x=3  i  przesuwasz się o 1 (do x=4) wartość zwiększyła się o 7 (z 9 do 16)

a teraz stoisz w puncie x=8 i też przesuwasz się do 1 do x=9, wartość zwiększyła się z o 17 a przyrost argumentu taki sam jak wcześniej.

 

Oczywiście ja tu się przesuwałem o +1, a jak już zdążyłeś zauważyć pochodna nas informuje o przyroście wartości funkcji gdy przyrost argumentu był "mały, dążący do 0".

 

Chciałem pokazać, że pochodna nie jest stała ( bo dla funkcji kwadratowej pochodna jest funkcją "liniową") więc masz za każdym razem inny przyrost.

 

Zobacz na animację z linku

 

 

 

 

 

p.s. Nie pisz tak  f(x) = x^2-2x+3 = 4-4+3 bo to jest źle. Po drugim znaku = masz obliczenie dla konkretnego x

Chyba mniej więcej zrozumiałem o co chodzi. 
Mam jeszcze jedno(ostatnie) pytanie. Jaki jest sens używania tutaj pochodnej w funkcjach kwadratowych itp. Kiedy w bardzo krótki ta pochodna się zmienia. 


  • 0

#11 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 12:41

Poproszę jeszcze raz pytanie bo nie rozumiem


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#12 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.06.2020 - 22:27

Jaki jest sensu używania funkcji pochodnej na przykład w funkcjach kwadratowych lub złożonych. 
Skoro nawet najmniejsza zmiana argumentu zmienia prędkość zmiany argumentów. Tak jak to podawałeś wyżej z przykładem x = 2 i x = 3 dla funkcji y =x^2
Nie rozumiem samego sensu używania takich pochodnych kiedy zmiana argumentu bardzo szybko zmienia również wynik pochodnej.


To na co jest potrzebna pochodna w takiej sytuacji jak w przykładzie powyżej ? 
Skoro prędkość zmiany argumentów zmienia się praktycznie co chwilę ? Jakie jest praktyczne zastosowanie takiego działania ? 
Bo mogę zrozumieć ze to jest pochodna określa prędkość przyrostu funkcji w stosunku to przyrostu argumentów w danym punkcie. Ale na co to jest potrzebne ? Nie wiem jak mam interpretować takie wyniki, skoro wiadome to jest że minimalna zmiana argumentu x zmienia kompletnie prędkość zmiany funkcji.


  • 0

#13 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.06.2020 - 09:10

Z mojej perspektywy to jak pytanie po co są cyfry skoro mam palce i mogę liczyć używając palców :)

No ale znalazłem coś co może nieco wytłumaczyć co i jak z tymi pochodnymi.

 

Generalnie pochodne i całki to chyba najbardziej użyteczne "narzędzia" w matematyce, no może jeszcze macierze do tego "grona" bym dodał.

 

Pochodnych użyjesz do badania zmienności funkcji, do obliczenia ekstremów, przegięć (zmian tempa wzrostu/spadku), Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, pochodną jest też zryw i udar.

 

W fizyce pochodnych jest bardzo bardzo dużo:

 

Zachęcam do lektury:

 

https://wh.agh.edu.p....2-Pochodna.pdf

http://cmf.p.lodz.pl...zyce-spis-treci

http://www.ftj.agh.e...bc.pochodne.pdf


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 02.06.2020 - 09:24

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#14 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.06.2020 - 23:23

Z mojej perspektywy to jak pytanie po co są cyfry skoro mam palce i mogę liczyć używając palców :)

No ale znalazłem coś co może nieco wytłumaczyć co i jak z tymi pochodnymi.

 

Generalnie pochodne i całki to chyba najbardziej użyteczne "narzędzia" w matematyce, no może jeszcze macierze do tego "grona" bym dodał.

 

Pochodnych użyjesz do badania zmienności funkcji, do obliczenia ekstremów, przegięć (zmian tempa wzrostu/spadku), Przyspieszenie definiuje się jako pochodną prędkości po czasie, pochodną jest też zryw i udar.

 

W fizyce pochodnych jest bardzo bardzo dużo:

 

Zachęcam do lektury:

 

https://wh.agh.edu.p....2-Pochodna.pdf

http://cmf.p.lodz.pl...zyce-spis-treci

http://www.ftj.agh.e...bc.pochodne.pdf

Właśnie zacząłem czytać.
I tak zauważyłem że chyba na razie uczę się tylko liczyć pochodne, a stosowanie tych pochodnych jeszcze mi nie pokazali. 
Jedynie tylko w tych pochodnych widzę prędkość zmiany funkcji (która się zmienia co chwilę), co wydaje się dla mnie dziwne ale pewnie mogę to uznać jako gdzie funkcja rośnie a gdzie maleje. 
Pewnie w dalszych lekcjach poznam zastosowanie takich pochodnych. 

Jeszcze jak możecie potwierdzić jedną rzecz: 

Pochodna musi być styczna do wykresu, ale czy każdy punkt jaki sprawdzamy musi mieć ten punkt styczności do wykresu ? Bo z ogólnego wzoru wynika to że może być tylko jedna prosta. 
Mam przez to na myśli że jak mamy np y = x^2 pochodna wynosi f'(x) = 2x

Na przykład mam x0 = 2 to rysuję wykres pochodnej f'(x) = 2x i osobny wykres dla x0 = 3 ? Czy obie wartości zawierają się w 2 wykresie dla wzoru ogólnego ?

Np. na zdjęciu którym załączę jest zaznaczona styczna x0 i musiałbym narysować 2 osobne wykresy pochodnych dla x0=2 i x0=3  z tego samego wzrou f'(x) = 2x ?

Dziękuję za cierpliwość i przepraszam za moją głupotę.


  • 0

#15 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.06.2020 - 23:41

Co Ty z tym stykaniem?

 

Czym innym jest pochodna a czym innym styczna do wykresu

 

Prosta styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x_0, f(x_0)) ma wzór y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

 

Czyli masz funkcję i chcesz narysować do niej styczną (prostą) w pewnym punkcie więc liczysz pochodną ALE to nie pochodna jest styczna a jedynie pozwala Ci obliczyć współczynnik kierunkowy tej funkcji stycznej.

 

Liczysz ją raz dla danej funkcji ale wartość w konkretnym punkcie jest inna dla każdego innego punkty bo tez masz inną prostą styczną w każdym innym punkcie - chyba logiczne

 

Dla y=x^2 pochodne są coraz bardziej "strone" więc i współczynnik kierunkowy musi rosnąć.

 

W szkole średniej za dużo zastosowań nie poznasz ale to świetne narzędzie do optymalizacji

 

np.

pod jakim kątem rzucić piłkę by doleciała najdalej przy danej sile rzutu.

jaki musi być stosunek boków prostokąta o obwodzie L by pole było największe

jak z kartki papieru zbudować prostopadłościan o największej objętości (skleić) itp.


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#16 Xenon02

Xenon02

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 20 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.06.2020 - 00:18

Co Ty z tym stykaniem?

 

Czym innym jest pochodna a czym innym styczna do wykresu

 

Prosta styczna do wykresu funkcji f(x) w punkcie (x_0, f(x_0)) ma wzór y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0)

 

Czyli masz funkcję i chcesz narysować do niej styczną (prostą) w pewnym punkcie więc liczysz pochodną ALE to nie pochodna jest styczna a jedynie pozwala Ci obliczyć współczynnik kierunkowy tej funkcji stycznej.

 

Liczysz ją raz dla danej funkcji ale wartość w konkretnym punkcie jest inna dla każdego innego punkty bo tez masz inną prostą styczną w każdym innym punkcie - chyba logiczne

 

Dla y=x^2 pochodne są coraz bardziej "strone" więc i współczynnik kierunkowy musi rosnąć.

 

W szkole średniej za dużo zastosowań nie poznasz ale to świetne narzędzie do optymalizacji

 

np.

pod jakim kątem rzucić piłkę by doleciała najdalej przy danej sile rzutu.

jaki musi być stosunek boków prostokąta o obwodzie L by pole było największe

jak z kartki papieru zbudować prostopadłościan o największej objętości (skleić) itp.

Czyli dobrze mniej więcej pisałem. 
Że jak podstawiamy jakiś argument x0=2 i x0=3 do pewnej funkcji pochodnej to do nich trzeba narysować dwa proste. 


Użytkownik Xenon02 edytował ten post 03.06.2020 - 00:18

  • 0

#17 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3925 postów
3256
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.06.2020 - 07:17

Styczne ale nie do funkcji pochodnej.

 

Popatrz

pre_1591164746__pochodna.jpg


Zielona to funkcja y=x^2+20 , poniżej niebieska - pochodna czyli y=2x

 

Zauważ, że wartość w i-tym punkcie na POCHODNEJ jest równa współczynnikowi kierunkowemu stycznej DO WYKRESU FUNKCJI w tym punkcie (A i A', B i B' mają oczywiście taka samą współrzędną iksową)

 

wykres pochodnej mówi Ci szybko o szybkości wzrostu lub spadku funkcji pierwotej:

ponieważ dla x mniejszego od zera pochodna ma wartości mniejsze od zera więc wiemy, ze funkcja w tym przedziale jest malejąca, dla x>0 pochodna ma wartości większe od zera więc dla takich punktów funkcja jest rosnąca


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 03.06.2020 - 10:21

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską