Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Równanie różniczkowe - metoda uzmienniania stałej

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 TeżNaChwile

TeżNaChwile

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.05.2020 - 17:50

Mam do policzenia takie równanie:

\frac{dy}{dx} y-2y+2x=0

 

Proszę aby ktoś prześledził i wskazał czy nie zrobiłem błędu, ponieważ stanąłem na pewnym etapie.

 

Jako że znam tylko metodę uzmienniania stałej to próbowałem w następujący sposób:

\frac{dy}{dx}-2+2\frac{x}{y}=0

 

\frac{dy}{dx}+2\frac{x}{y}=2

 

Więc teraz jak dla równania jednorodnego:

\frac{dy}{dx}+2\frac{x}{y}=0

 

\frac{dy}{dx}=-2\frac{x}{y}

 

y\frac{dy}{dx}=-2x

 

ydy=-2xdx

 

\int ydy=-2\int xdx

 

\frac{1}{2}y^2=-x^2+C1

 

y=\pm\sqrt{-2x^2+C}            C=2C1   

 

Uzmienniam stałą C=C(x), oraz rozważę tylko dodatni pierwiastek funkcji y:

y=\sqrt{-2x^2+C}        / \frac{d}{dx} 

\frac{dy}{dx}=\frac{-4x+\frac{dC}{dx}}{2\sqrt{-2x^2+C}}

 

Podstawiam do pierwszego równania:

\frac{dy}{dx} y-2y+2x=0

 

\frac{-4x+\frac{dC}{dx}}{2\sqrt{-2x^2+C}}\sqrt{-2x^2+C}-2\sqrt{-2x^2+C}+2x=0

 

-2x+\frac{1}{2} \frac{dC}{dx}-2\sqrt{-2x^2+C}+2x=0

 

\frac{dC}{dx}=4\sqrt{-2x^2+C}

 

I od tego momentu leżę. Wydaje mi się, że C powinno się skrócić, ale nie wiem co jest nie tak. Czy może obliczenie tego metodą uzmienniania jest nie do końca wskazane?

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3119 postów
1446
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.05.2020 - 21:23

 \frac{dy}{dx} = 2 -2 \frac{x}{y}, \ \ y\neq 0

 

 u = \frac{x}{y}

 

 x = u\cdot y

 

 \frac{dx}{dy} = u + y\frac{du}{dy}

 

 \frac{dx}{dy} = \frac{1}{2 - \frac{x}{y}}

 

 u + y\frac{du}{dy}= \frac{1}{2 -2u}

 

 y\frac{du}{dy} = \frac{1}{2 -2u} -u = \frac{1 -2u +2u^2}{2(1-u)}

 

 \frac{2(1-u)du}{2u^2-2u +1} = \frac{dy}{y}  

 

 \int \frac{2(1-u)du}{2u^2-2u+1} = \int \frac{dy}{y}  

 

 \frac{1}{2}\ln(2u-1) + \arctan(2u-1) = \ln(y) + C

 

 \ln[ \sqrt{\left( 2 \frac{x}{y} - 1 \right)}] + \arctan\left( 2\frac{x}{y} -1 \right) -\ln(y) = C.


Użytkownik janusz edytował ten post 16.05.2020 - 21:26

  • 1