Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

równanie płaszczyzny

Geometria

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 wero0

wero0

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 21.04.2020 - 14:43

Napisać równanie płaszczyzny przechodzącej przez:

d) dwie proste równoległe l_1:x/2=y-1=(z+2)/3 oraz l_2:(x-3)/2=y=z/3

e) prostą x/2=y-1=(z+2)/3 i jest równoległa do prostej x=y=z/3


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3130 postów
1450
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.04.2020 - 11:42

a)

 

 l_{1}: \ \ \frac{x-0}{2}= \frac{y-1}{1} = \frac{z+2}{3}

 

 l_{2}: \ \ \frac{x-3}{2} = \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{3}

 

 

 

Z równań prostych  l_{1}, \ \ l_{2}   wynika, że są równoległe, bo mają ten  sam wektor kierunkowy  [2, 1, 3].

 

 Na prostej na przykład  l_{1} obieramy punkt  P_{1}(0, 1, -2) i przez ten punkt i prostą  l_{2} prowadzimy płaszczyznę.

 

Metoda pierwsza

 

Szukana płaszczyzna przechodzi przez punkt  P_{1}(0, 1, -2) więc jej równanie ma postać

 

 A(x - 0) + B(y - 1) +C(z + 2) = 0 \ \ (1)  

 

 A^2 + B^2 + C^2 > 0  

 

Szukana płaszczyzna przechodzi przez prostą  l_{2}, więc  punkt  P_{2}(3, 0, 0) tej prostej musi leżeć na płaszczyźnie  (1)

 

 A( 3-0) +B(0 -1) +C(0+2) = 0  

 

 3A - B + 2C = 0 \ \ (2)

 

 Szukana płaszczyzna ma zawierać prostą  l_{2},   więc wektor  kierunkowy tej prostej musi być prostopadły do wektora płaszczyzny  [A, B, C ] iloczyn skalarny tych wektorów musi  być równy zeru

 

 2A + 1B + 3C = 0 \ \ (3)  

 

Otrzymaliśmy układ  (1), (2), (3) równań liniowych-jednorodny. Układ ten posiada rozwiązanie niezerowe wtedy,  gdy wyznacznik główny układu jest równy zeru.

 

 

 \left | \begin{matrix} x- 0 & y - 1 & z+2 \\ 3 & -1 & 2 \\ 2 & 1 & 3 \end{matrix} \right| = 0

 

Rozwijając ten wyznacznik na przykład według pierwszego wiersza, otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny

 

 -5x -5y +5 +5z +10 = 0

 

 -5x -5y + 5z +15 = 0

 

 x + y - z - 3 = 0.

 

Metoda druga 

 

Sprowadzamy prostą  l_{2} do postaci krawędziowej, uwzględniając na przykład  ilorazy pierwszy i trzeci oraz drugi i trzeci.

 

 \frac{x-3}{2} = \frac{z-0}{3}

 

 \frac{y-0}{1} = \frac{z-0}{3}

 

 3x - 9 = 2z

 

 3y = z

 

 3x -2z -9 = 0

 

 3y - z = 0

 

Równanie pęku płaszczyzn przesuniętych przez prostą  l_{2}

 

 3x -2z -9 +k( 3y - z) = 0 , \ \ k\in R \ \ (4)

 

 Płaszczyzna  przechodzi przez  punkt  P_{1}(0, 1, -2). Współrzędne tego punktu spełniają równanie  (4)

 

 3\cdot 0 -2\cdot (-2) - 9 + k(3\cdot 1+ 2) = 0

 

 4 - 9 + 5k = 0

 

 k = 1 \ \ (5)

 

Podstawiając  (5)    do  (4),   otrzymujemy równanie szukanej płaszczyzny 

 

 3x - 2z - 9 +1(3y - z ) = 0

 

 3x - 2z - 9 +3y - z =0

 

 3x + 3y - 3z - 9 = 0

 

 x +y - z - 3 = 0.  

 

 

 

 

 

 

 

 

 


Metoda trzecia 

 

Obliczamy współrzędne wektora  \vec{P_{1}P_{2}}

 

 \vec{P_{1}P_{2}} =[ 3 -0, 0 -1, 0 + 2] = [3, -1, 2 ]

 

Znajdujemy współrzędne wektora prostopadłego płaszczyzny, obliczając iloczyn wektorowy wektorów - kierunkowego prostej  l_{1} i wektora  \vec{P_{1}P_{3}

 

 

 [ 2, 1, 3 ] \times [3, -1, 2] = [ 2+3, -(4 -9), -2- 3] = [5, 5, -5]

 

Piszemy równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt  P_{1}

 

 5( x - 0) + 5(y - 1) -5(z +2) = 0  

 

 5x +5y - 5 - 5z -10 = 0

 

 5x + 5y -5z - 15 = 0

 

 x +y - z - 3 = 0.


  • 0