Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Przebieg zmienności funkcji

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Mires

Mires

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.04.2020 - 09:31

Mam zadnie do rozwiązania. Zbadać przebieg zmienności funkcji i sporządzić jej wykres y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-1} 
Utknąłem na monotoniczności i ekstremach funkcji oraz wklęsłości / wypukłości i punktach przegięcia funkcji. Coś mi nie wychodzi i nie wiem co robię źle. Prosiłbym o rozwiązanie tego abym mógł zobaczyć co robię źle. Z góry dziękuj za pomoc.   

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4024 postów
3299
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.04.2020 - 17:23

Cześć

 

y=\frac{x^{2}+x+1}{x^{2}-1}

 

Dziedzina \mathbb{R}\backslash \{-1,1}

 

f'(x)=\frac{\left(x^2+x+1\right)'\left(x^2-1\right)-\left(x^2-1\right)'\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{\left(2x+1\right)\left(x^2-1\right)-2x\left(x^2+x+1\right)}{\left(x^2-1\right)^2}=\frac{-x^2-4x-1}{\left(x^2-1\right)^2}

 

Pierwsza pochodna zeruje się tam gdzie zeruje się licznik (w tym przypadku) czyli

 

f'(x)=0 gdy -x^2-4x-1 = 0

 

x_1=-2-\sqrt{3},\:x_2=-2+\sqrt{3}

 

max lokalne y=\frac{-\sqrt{3}}{2} dla x=-2+\sqrt{3}

min lokalne y=\frac{\sqrt{3}}{2} dla x=-2-\sqrt{3}

 

 

Druga pochodna

f''(x)=\frac{\left(-x^2-4x-1\right)'\left(x^2-1\right)^2-\left(\left(x^2-1\right)^2\right)'\left(-x^2-4x-1\right)}{\left(\left(x^2-1\right)^2\right)^2}

 

=\frac{\left(-2x-4\right)\left(x^2-1\right)^2-4x\left(x^2-1\right)\left(-x^2-4x-1\right)}{\left(\left(x^2-1\right)^2\right)^2}=-\frac{2\left(-x^3-6x^2-3x-2\right)}{\left(x^2-1\right)^3}

 

i tu może użyj metody Newton'a - Raphson'a bo algebraicznie nie policzysz... chyba              ale około -5,52233

 

https://pl.wikipedia.../Metoda_Newtona

 

 

niech to x_p=-5,5223

 

Funkcja wklęsłą (-\infty,x_p) oraz (-1,1)

 

dla pozostałych wypukła


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.04.2020 - 22:12

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Przebieg zmienności funkcji     x