Centrum statystyk

FAQ i inne

Więcej

Javascript Disabled Detected

You currently have javascript disabled. Several functions may not work. Please re-enable javascript to access full functionality.

STUDIA

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu

Rozpoczęty przez Mariusz M, Jan 21 2020 11:49

Rachunek różniczkowy

Nie możesz napisać tematu
Zaloguj się aby odpowiedzieć

Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Wielki Analityk

Użytkownik
Redaktor
884 postów

409
Instruktor II

Płeć:

Wyróżnienia

Napisano 21.01.2020 - 11:49

Sprowadzając równanie Riccatiego do liniowego drugiego rzędu dostałem takie równanie

$u''\left(t\right)-u'\left(t\right)+tu\left(t\right)=0\\\\u\left(t\right)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n}\\\\\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+2\right)\left(n+1\right)c_{n+2}t^{n}-\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)c_{n+1}t^{n}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\\\2c_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+2\right)\left(n+1\right)c_{n+2}t^{n}-\left(c_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+1\right)c_{n+1}t^{n}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\\\2c_{2}-c_{1}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}t^{n+1}-\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+2\right)c_{n+2}t^{n+1}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\\\2c_{2}-c_{1}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}-\left(n+2\right)c_{n+2}+c_{n}\right]t^{n+1}=0\\\begin{cases}2c_{2}-c_{1}=0\\\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}-\left(n+2\right)c_{n+2}+c_{n}=0\end{cases}\\\\\begin{cases}c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n} \\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\\\\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n} \\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\\\$

Teraz nie wiem jak się takie równania rekurencyjne rozwiązuje

Jak znaleźć wzór ogólny ciągu zadanego rekurencyjnie

Może być wyrażony np funkcją $\Gamma\left(n\right)$

Wyrazy $c_{0}$ oraz $c_{1}$

mogą być dowolne jednak powinny pomóc rozdzielić ciąg na dwa podciągi

Może takie równanie będzie łatwiejsze do rozwiązania

$\\\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n} \\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\\\\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\2c_{2}=c_{1}\\\left(n+3\right)!c_{n+3}=\frac{\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)!c_{n+2}-\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n!c_{n} \\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\\\a_{n}=n!c_{n}\\\\\begin{cases}a_{0}\in\mathbb{R}\\a_{1}\in\mathbb{R}\\a_{2}=a_{1}\\a_{n+3}=a_{n+2}-\left(n+1\right)a_{n}\end{cases}\\$