Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
Brak odpowiedzi do tego tematu

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 884 postów
409
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.01.2020 - 11:49

Sprowadzając równanie Riccatiego do liniowego drugiego rzędu dostałem takie równanie

 

u''\left(t\right)-u'\left(t\right)+tu\left(t\right)=0\\</p>\\<p>u\left(t\right)=\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n}\\</p>\\<p>\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+2\right)\left(n+1\right)c_{n+2}t^{n}-\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+1\right)c_{n+1}t^{n}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\</p>\\<p>2c_{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+2\right)\left(n+1\right)c_{n+2}t^{n}-\left(c_{1}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(n+1\right)c_{n+1}t^{n}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\</p>\\<p>2c_{2}-c_{1}+\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}t^{n+1}-\left(\sum_{n=0}^{\infty}\left(n+2\right)c_{n+2}t^{n+1}\right)+\sum_{n=0}^{\infty}c_{n}t^{n+1}=0\\</p>\\<p>2c_{2}-c_{1}+\sum_{n=0}^{\infty}\left[\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}-\left(n+2\right)c_{n+2}+c_{n}\right]t^{n+1}=0</p>\\<p>\begin{cases}2c_{2}-c_{1}=0\\\left(n+3\right)\left(n+2\right)c_{n+3}-\left(n+2\right)c_{n+2}+c_{n}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n}<br>\\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n}<br>\\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\</p>\\<p>

 

Teraz nie wiem jak się takie równania rekurencyjne rozwiązuje

Jak znaleźć wzór ogólny ciągu zadanego rekurencyjnie

Może być wyrażony np funkcją \Gamma\left(n\right)

 

 

Wyrazy c_{0} oraz c_{1}

mogą być dowolne jednak powinny pomóc rozdzielić ciąg na dwa podciągi

 

 

Może takie równanie będzie łatwiejsze do rozwiązania

 

</p>\\<p>\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\c_{2}=\frac{1}{2}c_{1}\\c_{n+3}=\frac{\left(n+2\right)c_{n+2}-c_{n}<br>\\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}c_{0}\in\mathbb{R}\\c_{1}\in\mathbb{R}\\2c_{2}=c_{1}\\\left(n+3\right)!c_{n+3}=\frac{\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+2\right)!c_{n+2}-\left(n+3\right)\left(n+2\right)\left(n+1\right)n!c_{n}<br>\\}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}\end{cases}\\</p>\\<p>a_{n}=n!c_{n}\\</p>\\<p>\begin{cases}a_{0}\in\mathbb{R}\\a_{1}\in\mathbb{R}\\a_{2}=a_{1}\\a_{n+3}=a_{n+2}-\left(n+1\right)a_{n}\end{cases}</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 24.01.2020 - 13:25

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe liniowe drugiego rzędu     x