Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka oznaczona z definicji

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 mat124

mat124

    Ułamek

  • Jr Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.01.2020 - 01:40

Funkcja g jest funkcją całkowalną na przedziale [c, d] oraz S_{i} to suma Riemanna funkcji g dla podziału przedziału [c_{i}, d_{i}] na podprzedziały długości \frac{1}{i}, [c_{i}, d_{i}]\subset [c, d], c_{i}\rightarrow c oraz d_{i}\rightarrow d (przy i\rightarrow \infty). Wówczas dla dowolnego \epsilon dodatniego dla prawie każdego i mamy |S_{i}-\int_{c}^{d} g(x) dx|\lt \epsilon.
 
Jak to udowodnic?

Użytkownik mat124 edytował ten post 04.01.2020 - 12:00

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3096 postów
1440
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 12.01.2020 - 16:34

Oznaczenia:

 

 c = c_{0}< d_{0} < c_{1}<d_{1}<...< c_{n}< d_{n}= d - węzły podziału przedziału  [ c, d].

 

Największą z liczb  d_{i} - c_{i} , \ \ i =0,1,2,...,n - nazywamy średnicą podziału.

 

 m_{j} = \inf\{ g(t): \ \ c_{j-1} \leq t \leq d_{j-1}\} \ \ M_{j} = sup \{ g(t): \ \ c_{j-1} \leq t \leq d_{j-1}\}

 

 \omega_{g}(x) = \inf_{\delta >0} \{ \sup_{|t-x|<\delta} g(t) -\inf_{|t-x|<\delta} g(t)\} - nazywamy oscylacją (wahaniem)  funkcji  g w punkcie  x.

 

Suma  \sum_{j=1}^{n} M_{j}(d_{j} -c_{j})   nazywana jest sumą górną Darboux.

 

Suma  \sum_{j=1}^{n} m_{j}(d_{j} -c_{j})   nazywana jest sumą dolną Darboux.

 

 \sum_{j=1}^{n} M_{j}(d_{j} -c_{j}) \leq S_{j} \leq\sum_{j=1}^{n} m_{j}(d_{j} -c_{j})

 

Dowód (twierdzenia o istnieniu całki Riemanna)

 

Jeżeli funkcja jest całkowalna w sensie Riemanna  to dla każdego  \epsilon >0 istnieje  \delta > 0 taka, że jeśli  c_{j-1} \leq t \leq d_{j},   to

 

 | \int_{c}^{d} g(x) dx - \sum_{j=1}^{n} g(t_{j})(d_{j} -c_{j}) | \leq \frac{\epsilon}{3}.  

 

Stąd wynika, że  | \int_{c}^{d} g(x) dx - \sum_{j=1}^{n} m_{j}(d_{j} -c_{j}) | \leq \frac{\epsilon}{3}

 

oraz

 

 |\int_{c}^{d} g(x) dx - \sum_{j=1}^{n} M_{j}(d_{j} -c_{j}) | \leq \frac{\epsilon}{3}  

 

Wobec tego 

 

 \sum_{j=1}^{n} \omega_{j} (d_{j}- c_{j} ) = |\sum_{j=1}^{n} M_{j}(d_{j} -c_{j}) -\sum_{j=1}^{n} m_{j}(d_{j} -c_{j}) | 2\cdot \frac{\varepsilon}{3} < \varepsilon

 

 

i  stąd, gdy   n \rightarrow \infty

 

  | S_{n} - {\int_{c}^{d} g(x) dx |< \varepsilon

 

 

c.b.d.o.


  • 0