Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

punkt przecięcia wysokości czworościanu

Stereometria

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 monikap7

monikap7

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • 830 postów
19
Mały Pomocnik I

Napisano 12.10.2009 - 14:37

Udowodnij, że punkt przecięcia wysokości czworościanu foremnego dzieli każdą z nich w stosunku 1:3.
  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2019 - 12:19

pre_1570184531__trt2.jpg


Na grafice po prawej zamiast C powinno być E

 

DE=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}

 

GE=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}  oraz DG=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}

 

DF=H=\frac{a\sqrt{6}}{3}

 

Wykorzystując funkcje trygonometryczne

 

sin kąta przy punkcie sin\angle E=\frac{FD}{DE}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{3}}{\frac{a\sqrt{3}}{2}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}

 

cos\angle D=\frac{DG}{ID}                     DI szukamy i oznaczmy przez y

 

ale cos \angle D= cos( 90- \angle E)=sin(\angle E)=\frac{2\sqrt{2}}{3}

 

czyli

 

\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{DG}{ID}=\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{y}

 

\frac{\frac{a\sqrt{3}}{3}}{\frac{2\sqrt{2}}{3}}=y=\frac{a\sqrt{6}}{4}

 

IF także szukana oznaczmy przez x

 

x=IF=DF-y=\frac{a\sqrt{6}}{3}-\frac{a\sqrt{6}}{4}=\frac{a\sqrt{6}}{12}

 

zatem

 

\frac{IF}{DI}=\frac{x}{y}=\frac{\frac{a\sqrt{6}}{12}}{\frac{a\sqrt{6}}{4}}=\frac{1}{3}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.10.2019 - 12:48

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.10.2019 - 12:51

Można prościej wykorzystując podobieństwo trójkątów

 

pre_1570201368__trrrrr.jpg

Oznaczmy:

SF=\frac{2}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{3}

SD=h=\frac{a\sqrt{3}}{2}

OD=\frac{1}{3}h=\frac{a\sqrt{3}}{6}

EO=EF=x

SE=y

 

\frac{SE}{EF}=\frac{y}{x}=\frac{SD}{OD}=\frac{h}{\frac{1}{3}h}

 

czyli

 

\frac{y}{x}=3       więc       \frac{x}{y}=\frac{EO}{ES}=\frac{1}{3}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 04.10.2019 - 16:12

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską