Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Granica ciągu

Ciągi wektorowe i liczbowe Szeregi

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mbdnn

Mbdnn

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.09.2019 - 22:10

Korzystając z definicji granicy ciągu uzasadnić równość: 

\lim_{x\to \infty}  \frac{1}{2^n + 1} = 0


Użytkownik Mbdnn edytował ten post 24.09.2019 - 22:10

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3776 postów
3222
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 24.09.2019 - 23:32

Chyba

\lim_{n\to \infty}  \frac{1}{2^n + 1} = 0   :)

 

Gdzie problem?

 

Zauważ, że dla każdego n\in \math{N} \,\,\,\,  2^n+1< 2^{n+1}+1=2^n\cdot 2+1 czyli licznik dąży do nieskończoności a co za tym idzie...

 

To wskazówki- teraz musisz "połączyć kropki"


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.09.2019 - 23:34

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3093 postów
1440
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.09.2019 - 14:11

Definicja granicy właściwej ciągu: 

 

 \lim_{n\to \infty} a_{n} = g \leftrightarrow \bigwedge_{ \varepsilon >0} \bigvee_{ n_{\epsilon} \in N} \bigwedge_{ n > n_{\epsilon}} |a_{n} - g | < \varepsilon  

 

Wystarczy dowieść prawdziwości ostatniego zdania.

 

Analiza zadania, w której poszukujemy liczby  n_{\varepsilon}

 

 \left | \frac{1}{2^{n} + 1} - 0 \right| < \left | \frac{1}{2^{n}} \right | < \epsilon  

 

 \frac{1}{2^{n}} < \epsilon

 

 2^{n} > \frac{1}{\varepsilon}

 

 n > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}

 

 n_{\epsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}.

 

Można dostrzec, że dowód został zakończony. Ze względów dydaktycznych podamy go niżej w sposób bardziej wyraźny.

 

Niech dana będzie  dowolna liczba dodatnia  \varepsilon,   dowolna liczba naturalna  n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}   oraz dowolna liczba naturalna  n > n_{\varepsilon} . 

 

Wtedy  n > n_{\varepsilon} > \frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ n >\frac{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}{\log 2}, \ \ \frac{1}{n} < \frac{log 2}{\log \left(\frac{1}{\varepsilon}\right)} , \ \ \frac{1}{n\log 2} < \frac{1}{\log\left( \frac{1}{\varepsilon}\right)}, \ \ \frac{1}{2^n}< \varepsilon, \ \ \left| \frac{1}{2^{n} \right| < \varepsilon,

 

c.d.d.o.


Użytkownik janusz edytował ten post 25.09.2019 - 16:14

  • 2

#4 Mbdnn

Mbdnn

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2019 - 12:18

| \frac{1}{2^{n}+1} - 0 | < | \frac{1}{2^{n}} | < e

Nie rozumiem tego, dlaczego pozbyliśmy się jedynki?


Użytkownik Mbdnn edytował ten post 26.09.2019 - 12:26

  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3776 postów
3222
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.09.2019 - 21:06

Jeśli zmniejszysz mianownik (nie dodając 1) "wartość" ułamka się zwiększy... stąd nierówność


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.09.2019 - 21:07

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Granica ciągu     x