Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
9 odpowiedzi w tym temacie

#1 Daria249

Daria249

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.05.2019 - 19:14

Witam,

czy potrafi ktoś rozwiązać całkę x^2/(1-x)^2 ?


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.05.2019 - 11:49

*
Najwyższa ocena

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx

 

Rozwiązanie przez części

 

f=\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}                      g'=1

 

ale chyba lepsze takie

 

1-x=t             więc      1-t=x  stąd dx=-dt oraz

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx=-\int \frac{(1-t)^2}{t^2}dt=-\int\frac{1-2t+t^2}{t^2}dt=-\int \frac{1}{t^2}+2\int\frac{1}{t}dt-\int dt=\frac{1}{t}+2ln|t|-t+C=\frac{1}{1-x}+2ln|1-x|-(1-x)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.05.2019 - 09:38

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.05.2019 - 12:28

*
Najwyższa ocena

\int{\frac{x^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}} d x}


\int{\frac{x^{2}}{\left(- x + 1\right)^{2}} d x} = \int{\left(1 + \frac{2 x - 1}{\left(- x + 1\right)^{2}}\right)d x}=x + \int{\frac{2 x - 1}{\left(- x + 1\right)^{2}} d x

 

2x-1=-2(-x+1)+1

 

x + \int{\frac{2 x - 1}{\left(- x + 1\right)^{2}} d x} = x + \int{\left(- \frac{2}{- x + 1} + \frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}}\right)d x}=x + \int{\frac{1}{\left(- x + 1\right)^{2}} d x} - \int{\frac{2}{- x + 1} d x}

 

każdą z tych całek możemy policzyć po przez podstawienei -x+1=t

 

finalnie mamy

x + 2 \ln{\left (\left|{x - 1}\right| \right )} + \frac{1}{- x + 1}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.05.2019 - 06:48

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.05.2019 - 09:43

*
Najwyższa ocena

Rozwiązanie z początku tj. przez części

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx

 

Rozwiązanie przez części

 

f=\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}                      g'=1

 

f'=\frac{2x}{(1-x)^3}                 g=x

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx=\frac{x^3}{\left(1-x\right)^2}-\int \frac{2x^2}{(1-x)^3}

 

ponownie przez części

 

h=x^2                                   k'=\frac{1}{(1-x)^3}

 

h'=2x                                   k=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}

 

więc

 

\int \frac{2x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=2\cdot \int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=2\left(\frac{x^2}{2\left(1-x\right)^2}-\int \frac{x}{\left(1-x\right)^2}dx\right)

 

Ostatnia całka przez podstawienie

 

\int \frac{x}{\left(1-x\right)^2}dx=[u=1-x, -du=dx, x=-u+1]=\int \:-\frac{-u+1}{u^2}du=-\int \:-\frac{1}{u}+\frac{1}{u^2}du=-\left(-\int \frac{1}{u}du+\int \frac{1}{u^2}du\right)=-\left(-\ln \left|u\right|-\frac{1}{u}\right)+C \\ =-\left(-\ln \left|1-x\right|-\frac{1}{1-x}\right)+C=\ln \left|1-x\right|+\frac{1}{1-x}+C

 

Ostatecznie

\int \frac{2x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}-2\ln \left|1-x\right|-\frac{2}{1-x}+C

 

a

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx=\frac{x^3}{\left(1-x\right)^2}-\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}+2\ln \left|1-x\right|+\frac{2}{1-x}+C

 

ewentualnie można

 

\frac{x^3}{\left(1-x\right)^2}-\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}+\frac{2}{1-x}=\frac{x^3-x^2}{\left(1-x\right)^2}+\frac{2}{1-x}=\frac{x^2\left(x-1\right)}{\left(1-x\right)^2}+\frac{2}{1-x}=\frac{x^2}{x-1}+\frac{2}{1-x}=\frac{x^2\left(-x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(-x+1\right)}+\frac{2\left(x-1\right)}{\left(1-x\right)\left(x-1\right)}=\frac{\left(1-x\right)\left(x^2-2\right)}{\left(x-1\right)\left(-x+1\right)}=\frac{x^2-2}{x-1}

 

czyli

 

\frac{x^3}{\left(1-x\right)^2}-\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}+2\ln \left|1-x\right|+\frac{2}{1-x}+C=\frac{x^2-2}{x-1}+2\ln \left|1-x\right|+C

 

 

 

 

 

Niby trzy rożne wyniki, ale różnią się o tylko stałą którą można "włożyć do C" :) więc wszystkie są poprawne


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.05.2019 - 09:44

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Daria249

Daria249

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 6 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.05.2019 - 20:11

Dziękuję bardzo!


  • 0

#6 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.05.2019 - 10:22

\int \frac{2x^2}{\left(1-x\right)^3}dx

 

Tą całkę też możesz inaczej policzyć np.

 

\int \frac{2x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=-2\int\frac{x^2}{(x-1)^3}dx   teraz podstawienie x-1=t   x^2=(t+1)^2     dx=dt

 

=-2\int\frac{(t+1)^2}{t^3}dt=-2\int\left(\dfrac{1}{t}+\dfrac{2}{t^2}+\dfrac{1}{t^3}\right)\mathrm{d}u  a te to już niemal z definicji

 

=-2\(\ln\left(u\right)-\dfrac{2}{u}-\dfrac{1}{2u^2}\)+C=-2\ln\left(x-1\right)+\dfrac{4}{x-1}+\dfrac{1}{\left(x-1\right)^2}+C

 

albo też (choć to raczej trudniejsza droga)

 

\frac{x^2}{(1-x)^3}=-\frac{1}{x-1}-\frac{2}{(x-1)^2}-\frac{1}{(x-1)^3}= wynik ten sam oczywiście ale możesz "zwinąć do"

 

2\left(\dfrac{4x-3}{2x^2-4x+2}-\ln\left(\left|x-1\right|\right)\right)+C


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#7 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 880 postów
407
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.05.2019 - 18:57

*
Najwyższa ocena

Jarek przez części można ale źle je dobrałeś

 

\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}-2\int{\frac{x}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+\int{\frac{2-2x-2}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2\int{\mbox{d}x}+2\int{\frac{-1}{1-x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^2}{(1-x)^2}\mbox{d}x}=\frac{x^2}{1-x}+2x+2\ln{\left|1-x\right|}+C\\</p>\\<p>


  • 3

#8 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.05.2019 - 07:18

Mariusz nie widzę błędu

 

Dopisz jak "podzieliłeś" funkcję podcałkową, myślałem, że Ostrogradkim robiłeś :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 24.05.2019 - 10:10

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#9 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 880 postów
407
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.07.2019 - 22:47


Mariusz nie widzę błędu

 

Podział na części który zaproponowałeś nie doprowadzi do poprawnego wyniku

Przy twoim podziale na części stopień wielomianu w mianowniku wzrośnie zamiast zmaleć

 

Poprawny podział na części to

 

u=x^2 \qquad \mbox{d}v=\frac{1}{\left(1-x\right)^2}\mbox{d}v\\ \mbox{d}u=2x\mbox{d}x \qquad v=\frac{1}{1-x}


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 29.07.2019 - 22:53

  • 1

#10 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3702 postów
3181
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.07.2019 - 23:25

Wiem, że po pierwszym kroku mamy większy stopień mianownika

 

Przez części

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx

 

Rozwiązanie przez części

 

f=\frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}                      g'=1

 

f'=\frac{2x}{(1-x)^3}                 g=x

 

\int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^2}dx=\frac{x^3}{\left(1-x\right)^2}-\int \frac{2x^2}{(1-x)^3}

 

Ale teraz zniweluje ponownie przez części

 

h=x^2                                   k'=\frac{1}{(1-x)^3}

 

h'=2x                                   k=\frac{1}{2\left(1-x\right)^2}

 

więc

 

\int \frac{2x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=2\cdot \int \frac{x^2}{\left(1-x\right)^3}dx=2\left(\frac{x^2}{2\left(1-x\right)^2}-\int \frac{x}{\left(1-x\right)^2}dx\right)

 

Owszem, nie jest optymalne ale chciałem pokazać, że można się "bawić" sposobami.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 29.07.2019 - 23:30

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską