Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Układ równań różniczkowych

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 ola77

ola77

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 22.04.2019 - 13:11

Hej, mam problem z następującym układem, czy ktoś chciałby pomóc?

</p>\\<p>\{y'=1-\frac{1}{z}\\ z'=\frac{1}{y-x}</p>\\<p>


Użytkownik ola77 edytował ten post 22.04.2019 - 13:12

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3078 postów
1432
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.05.2019 - 11:15

 \begin{cases} \frac{dy}{dx} = \frac{z-1}{z}\\ \frac{dz}{dx} = \frac{1}{y-x} \end{cases}

 

Metoda całek pierwszych

 

Sprowadzamy lewe strony równań do NWW 

 

 \begin{cases} \frac{dy}{dx} = \frac{(z-1)(y-x)}{z(y-x)}\\ \frac{dz}{dx} = \frac{z}{z(y-x)} \end{cases}

 

Sprowadzamy układ do postaci symetrycznej 

 

 \frac{dx}{z(y-x)} = \frac{dy}{(z-1)(y-x)} = \frac{dz}{z}

 

 Wykorzystując własność  proporcji - odejmujemy proporcję drugą  od pierwszej

 

 \frac{dy - dx}{(z-1)(y-x) - z(y-x)}= \frac{dz}{z}

 

 \frac{-d(y-x)}{(y-x)} = \frac{dz}{z} \ \ (*)

 

Całkujemy obustronnie

 

 \ln \left( \frac{1}{y-x} \right) = \ln \left(\frac{z}{c_{1}}\right)

 

Stąd

 

 c_{1} = z\cdot (y - x ) \ \

 

W celu znalezienia całki drugiej układu 

 

wyznaczamy  y - x = \frac{c_{1}}{z}   i podstawiamy do (*)

 

 \frac{dx}{c_{1}} = \frac{dz}{z}

 

 dx = c_{1}\frac{dz}{z}

 

Całkując  obustronnie 

 

 x = c_{1} \ln|z| + c_{2}

 

 c_{2} = x - c_{1}\ln|z| .


Użytkownik janusz edytował ten post 02.05.2019 - 11:25

  • 0





Tematy podobne do: Układ równań różniczkowych     x