Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Oblicz całkę

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
15 odpowiedzi w tym temacie

#1 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.11.2018 - 14:38

Chciałem tutaj pokazać całkę z którą nie będziemy mieć problemu jeśli całkujemy sprawdzonymi sposobami

natomiast możemy mieć trudności jeśli podążamy za amerykańską modą

 

\int{\frac{x^2}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}

 

Dlaczego amerykańcy mają trudności z policzeniem tej całki ?

... ponieważ za wszelką cenę unikają całkowania przez części

tylko szukają jakichś dziwnych podstawień

 

Według mnie przez części łatwiej jest ją policzyć niż podstawieniem


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.11.2018 - 14:02

*
Najwyższa ocena

\int \dfrac{x^2}{\left(x sin(x)+ cos(x)\right)^2} dx={\displaystyle\int}\dfrac{x^2\cdot sin^2(x)+x^2\cdot cos^2(x)}{\left(x sin(x)+ cos(x)\right)^2}dx=\int\frac{x^2\cdot sin^2(x)+x\cdot sin(x)\cdot cos(x)-x\cdot sin(x)\cdot cos(x)+x^2\cdot cos^2(x)}{\left(x sin(x)+ cos(x)\right)^2}dx

 

={\displaystyle\int}\left(\dfrac{x\sin\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}-\dfrac{x\cos\left(x\right)\left(\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)\right)}{\left(x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^2}\right)dx

 

={\displaystyle\int}\dfrac{x\sin\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}\,\mathrm{d}x-{\displaystyle\int}\dfrac{x\cos\left(x\right)\left(\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)\right)}{\left(x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^2} dx

 

Przez części drugą (pierwszą przepisuję)

 

f=sin(x)-x\cdot cos(x)                                                f'=x\cdot sin(x)

 

g'=\dfrac{x\cos\left(x\right)}{\left(x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^2}                                                       g=-\dfrac{1}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}

 

 

</p>\\<p>=\dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+\int -\dfrac{x\sin\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}dx+{\displaystyle\int}\dfrac{x\sin\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}dx</p>\\<p>

 

całki się znoszą więc zostaje rozwiązanie

 

{\displaystyle\int}\dfrac{x^2}{\left(x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)\right)^2}\,\mathrm{d}x=\dfrac{\sin\left(x\right)-x\cos\left(x\right)}{x\sin\left(x\right)+\cos\left(x\right)}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 19.12.2018 - 10:06

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.11.2018 - 09:28

Pewnie Cie nie zdziwi, że pierwsze przychodzi podstawienie t=tg\(\frac{x}{2}\)

 

ale może jeszcze inaczej :) spróbujemy.


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.11.2018 - 09:28

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.12.2018 - 00:13

Amerykańcy próbowali zapisać wnętrze mianownika w postaci cosinusa bądź sinusa sumy


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.12.2018 - 08:22

Amerykańcy próbowali zapisać wnętrze mianownika w postaci cosinusa bądź sinusa sumy

Pokaż co tam wysmażyli


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.12.2018 - 23:35

Pomysł na całkę pojawił się w komentarzu do filmiku pewnego Kitajca znajdującego się w USA
Moim pomysłem na policzenie tej całki było dobranie tak części aby w liczniku pojawiła się pochodna wnętrza mianownika

Gdy koleś wybrał moją propozycję policzenia tej całki pojawiły się w komentarzach kolejne propozycje fanów różnych dziwnych podstawień
np wiemy że

sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

i koleś próbował dopasować wnętrze mianownika pod ten wzór


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 17.12.2018 - 23:51

  • 1

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.12.2018 - 08:04

No ok a czy te ich rozważania coś dały - tj. całka która im wyszła do policzenia dała się w znośny sposób łatwo obliczyć? Powalczę z podstawieniem trygonometrycznym bo wydaje mi się na dość znośne podejście ale można opisać też i ich podejścia, jak i Twoje (chętnie prześledzę) :) - kompleksowo do końca

 

Pozdrawiam


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 18.12.2018 - 08:06

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.12.2018 - 06:32

*
Najwyższa ocena

x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\left(\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\sin{x}+\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}\cos{x}\right)

 

Teraz koleś w jednym z komentarzy chciał użyć wzoru

 

\sin{\left(A+B\right)}=\sin{A}\cos{B}+\cos{A}\sin{B}

 

zatem musiał mieć

 

\cos{\theta}=\frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\\</p>\\<p>\sin{\theta}=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}</p>\\<p>

 

\tan{\theta}=\frac{1}{x}\\</p>\\<p>x\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{x^2+1}\sin{\left(x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)}\\</p>\\<p>

 

Zaproponował więc podstawienie u=x+\arctan{\left(\frac{1}{x}\right)}

 

 

Jeżeli chodzi o moje podejście to było to całkowanie przez części

 

Na początku policzyłem

 

\frac{\mbox{d}}{\mbox{d}x}\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)=\\</p>\\<p>\sin{x}+x\cos{x}-\sin{x}=x\cos{x}</p>\\<p>

 

zatem chcemy mieć w liczniku x\cos{x}

 

stąd pomysł na części

 

\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}

 

i koleś co kręcił filmiki wybrał moją propozycję obliczenia tej całki

jednak ci co wymyślają dziwne podstawienia nie byli z tego zadowoleni


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 19.12.2018 - 06:51

  • 3

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.12.2018 - 08:54

To jest na jakiejś stronie? forum?  Jeśli tak daj link :) Poczytam

 

 

A co do rozwiązania - to ja mym w życiu tak tego nie robił inna sprawa, że pewnie bym tego tak nie wymyślił (tj. ich podejścia)

 

podejście z  t=tg\(\frac{x}{2}\) nie takie proste jak by się wydawało - walczę ale opornie idzie :)

 

Pozdrawiam


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 19.12.2018 - 13:05

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#10 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.12.2018 - 01:15

To podstawienie chyba niewiele daje bo nadal trzeba kombinować z częściami

 

Pomysł na całkę i na jej policzenie pojawił się na youtube


  • 0

#11 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.12.2018 - 15:04

Coś mi nie grało więc postanowiłem zapisać ale chyba jest ok

 

\int{\frac{x^2}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}=\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}

 

f=\frac{x}{\cos{x}                              g'=\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}

 

f'=\frac{cos(x)+x\cdot sin(x)}{cos^2(x)}       g(x)=\frac{-1}{xsin(x)+cos(x)}

 

 

zatem

 

\int{\frac{x}{\cos{x}}\cdot\frac{x\cos{x}}{\left(x\sin{x}+\cos{x}\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{x}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+\int \frac{cos(x)+x\cdot sin(x)}{cos^2(x)}\cdot \frac{1}{xsin(x)+cos(x)}dx=-\frac{x}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+\int \frac{dx}{cos^2(x)}=-\frac{x}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+tg(x)+C

 

=-\frac{x}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+\frac{sin(x)}{cos(x)}+C=-\frac{x}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+\frac{sin(x)\cdot (x\sin{x}+\cos{x})}{cos(x)\cdot(x\sin{x}+\cos{x})}+C=\frac{-x+x\sin^2{x}+\sin{x}\cos{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+C

 

=\frac{-x(1-\sin^2{x})+\sin{x}\cos{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+C=\frac{-x\cdot \cos^2{x}+\sin{x}\cos{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})\cdot \cos{x}}+C=\frac{-x\cdot \cos{x}+\sin{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})}+C=\frac{\sin{x}-x\cdot \cos{x}}{(x\sin{x}+\cos{x})}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.12.2018 - 10:53

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#12 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.12.2018 - 05:41

Na pewno dobrze dodałeś w dwóch ostatnich przejściach ?

cosinus powinien się skrócić


  • 0

#13 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.12.2018 - 12:36

Faktycznie coś nie gra choć różnica miedzy tym wynikiem a wcześniejszym to tylko twa tangensy :)

 

No i rzecz jasne pochodna nie daje wyjściowej funkcji ale na małym ekranie nie widzę błędu


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#14 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 891 postów
412
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.12.2018 - 18:12

Po dodaniu minus powinien być tylko przed x

a nie przed całą kreską ułamkową

wtedy po skorzystaniu z jedynki trygonometrycznej cosinus z mianownika się skróci

Na samym początku liczenia przy dobieraniu części zapomniałeś usunąć znaku całki


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 22.12.2018 - 03:20
Oj nie myslałem, że rąbnę się w minusie :) Teraz jest ok

  • 1

#15 loleczek

loleczek

    Nowicjusz

  • Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.02.2019 - 11:48

mozesz to wyłumaczć ktok po kroku ? 


  • 0

#16 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4063 postów
3343
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.02.2019 - 09:12

Konkretniej :) który post?

Czego nie rozumiesz

 

Pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Oblicz całkę     x