Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

2 zadania z równań - pomocy!

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 syl_wia

syl_wia

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.09.2018 - 22:30

Proszę o pomoc w rozwiązaniu tych równań, bo jakoś się w nich gubię, z góry ogromne dzięki.

 

1.       y'' +9y=ctg3x

 

2.       y' + ycosx = -y^2* e^{sinx}* sin^5x

 

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3063 postów
1418
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.09.2018 - 10:23

Zadanie 2

 

http://www.math.edu....t,studia,5799,0

 

Zadanie 1

 

 y^{''} + 9y = ctg(3x) (0)

 

Równanie charakterystyczne:

 

 r^2 +9 = 0, \ \ r_{1}= -3i, \ \ r_{2} = 3i .

 

Rozwiązania szczególne:

 

 y_{1} = \sin(3x), \ \ y_{2} = \cos(3x).

 

 

Wrońskian  rozwiązań szczególnych:

 

 W(x) = \left | \begin{matrix} \sin(3x)& \cos(3x)\\ 3\cos(3x)& -3\sin(3x) \end{matrix} \right| = -3\sin^2(x) - 3\cos^2(x) = -3\neq 0.

 

Rozwiązanie ogólne równania jednorodnego: 

 

 y_{0} = A\sin(3x) + B\cos(3x)

 

Poszukujemy całki ogólnej równania  niejednorodnego w postaci:

 

 y = A(x)\sin(3x) + B(x) \cos(3x) (1)

 

 

Nieznane funkcje  A(x), \ \ B(x)   znajdujemy z układu równań:

 

 A'(x)\sin(3x) + B'(x)\cos(3x) = 0

i

 3A'(x)\cos(3x) - 3B'(x)\sin(3x) = ctg (3x).

 

 

Rozwiązując ten układ na przykład metodą przeciwnych współczynników otrzymujemy (proszę sprawdzić):

 

A '(x) = \frac{1}{3}\cos(3x) ctg (3x), \ B'(x) = -\frac{1}{3}\cos(3x).

 

Stąd

 

 A(x) =\int \frac{1}{3} \cos(3x) ctg(3x) dx= \frac{1}{3} \int \frac{\cos^2(x)}{\sin(x)}dx = \frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx =...= \frac{1}{9} \cos(3x) + \frac{1}{9}\ln \left(ctg( \frac{3}{2}x)\right) + C.  

 

 

 B(x) = -\frac{1}{3}\int \cos(3x)dx = -\frac{1}{9} \sin(3x) + D . 

 

Podstawiając funkcje:  A(x), \ \ B(x)   do (1),  otrzymujemy rozwiązanie ogólne równania (0):

 

 y = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x)\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg(\frac{3}{2}x) \right) - \frac{1}{9}\sin(3x}\cos(3x) = C\sin(3x) + D\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) \ln \left(ctg (\frac{3}{2}x) \right) .


Użytkownik janusz edytował ten post 19.09.2018 - 12:27

  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3490 postów
3078
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2018 - 08:13

\frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx =...= \frac{1}{9} \cos(3x) + \frac{1}{9}\ln \left(ctg( \frac{3}{2}x)\right) + C   ???

 

--------------

 

\frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{sin(x)}dx-\frac{1}{3}\int sin(x)dx

 

tu można zobaczyć rożne podejścia http://matma4u.pl/to...ózne-podejścia/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 21.09.2018 - 08:14

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3490 postów
3078
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.10.2018 - 23:31

\frac{1}{3}\int \frac{1 -\sin^2(x)}{\sin(x)} dx=\frac{1}{3}\int \frac{1}{sin(x)}dx-\frac{1}{3}\int sin(x)dx

 

 

 

\int \frac{1}{\sin \left(x\right)}dx=

 

u=tg \left(\frac{x}{2}\right)\quad \quad, \frac{x}{2}=arctg(u), \quad \quad dx=\frac{2}{1+u^2}du

 

\sin x = \frac{2 \sin \frac{x}{2} \cos \frac{x}{2}}{\sin^2 \frac{x}{2} + \cos^2 \frac{x}{2}} = \frac{2 \frac{\sin \frac{x}{2}}{\cos \frac{x}{2}}}{\frac {\sin^2 \frac{x}{2}}{\cos^2 \frac{x}{2}}+1} = \frac{2t}{t^2+1}

 

\frac{1}{sin(x)} =\frac{1+u^2}{2u}

 

=\int \frac{1+u^2}{2u}\frac{2}{1+u^2}du=\int \frac{1}{u}du=ln|u|+C=ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C

 

a wykorzystując wzory trygonometryczne i własności logarytmów mamy

 

ln|tg\(\frac{x}{2}\)|+C=ln\|\frac{\sin\(\frac{x}{2}\)}{\cos\(\frac{x}{2}\)}\|+C=ln|\sin\(\frac{x}{2}\)|-ln|\(\cos\frac{x}{2}\)|+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.10.2018 - 11:22

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3490 postów
3078
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.10.2018 - 11:23

Uwaga!

Regulamin punkt 3 mówi:

Tematy powinny mieć konkretne nazwy opisujące krótko ich treść.
Dobrze: Pole trapezu prostokątnego.
Źle: Geometria (zbyt ogólnie)
Pomocy, pliiiss, zadanie na jutro
(niedopuszczalne jest używanie w temacie słów typu: "pomocy", "help", itp. ani innych podobnych treści)
POLE TRAPEZU (temat piszemy normalną czcionką, bez CapsLocka)
Wiadomości ze złym tematem zostaną usunięte na Wysypisko. W przypadku rażącego złamania tej zasady użytkownik otrzyma ostrzeżenie.
Proszę poprawić nazwę tematu.


Uwaga!

Regulamin punkt 3 mówi:

Tematy powinny mieć konkretne nazwy opisujące krótko ich treść.
Dobrze: Pole trapezu prostokątnego.
Źle: Geometria (zbyt ogólnie)
Pomocy, pliiiss, zadanie na jutro
(niedopuszczalne jest używanie w temacie słów typu: "pomocy", "help", itp. ani innych podobnych treści)
POLE TRAPEZU (temat piszemy normalną czcionką, bez CapsLocka)
Wiadomości ze złym tematem zostaną usunięte na Wysypisko. W przypadku rażącego złamania tej zasady użytkownik otrzyma ostrzeżenie.
Proszę poprawić nazwę tematu.


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską