Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka z demotów

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.08.2018 - 07:50

pre_1534920283__demot.jpg

 

Zakładając, że S to całka mamy:

 

\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}}dx=[u=x-\frac{3}{2}]=2\cdot \int \:\frac{3\left(u+\frac{3}{2}\right)^3-\left(u+\frac{3}{2}\right)^2+2u-1}{\sqrt{4u^2-1}}du

 

u=\frac{1}{2}\sec \left(v\right)

 

=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)\left(3\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^2+\sec \left(v\right)-1\right)dv

 

=2\cdot \frac{1}{2}\left(\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv\right)

 

\re \int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx

 

\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv=\frac{3}{8}\cdot \int \:\sec ^4\left(v\right)dv=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\cdot \int \:\sec ^2\left(v\right)dv\right)=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\tan \left(v\right)\right)=\frac{1}{8}\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)+\frac{1}{4}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv=\frac{25}{8}\cdot \int \:\sec ^3\left(v\right)dv=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv\right)=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|\right)

 

\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv=\frac{77}{8}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv=\frac{55}{8}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv=\frac{55}{8}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|

 

całkę           \int sec(x)dx =\int \frac{dx}{cos(x)}         policzyć z opracowania         http://matma4u.pl/to...67-całka-1cosx/

 

powracamy do wyjściowej zmiennej

v=arcsec \left(2u\right),\:u=x-\frac{3}{2}

 

Po obliczeniu granic dostajemy ... -\frac{135\sqrt{2}\ln \left(3-2\sqrt{2}\right)+404}{16\sqrt{2}} czyli ujemną liczbę bliską -3... dziwny PIN ;/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.08.2018 - 09:51

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.09.2018 - 11:39

Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
\sqrt{x^2-3x+2}=t-x

 

Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi

Ale tak jest modnie po amerykańsku

 

 

\int{\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2-3x+2}=t-x\\</p>\\<p>x^2-3x+2=t^2-2tx+x^2\\<br>\\-3x+2=t^2-2tx\\</p>\\<p>t^2-2=2tx-3x\\</p>\\<p>x\left(2t-3\right)=t^2-2\\</p>\\<p>x = \frac{t^2-2}{2t-3}\\</p>\\<p>t-x=\frac{t^2-3t+2}{2t-3}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t-3\right)-2(t^2-2)}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t^2-6t+4}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3\left(t^2-2\right)^3-(t^2-2)^2(2t-3)+2(t^2-2)(2t-3)^2-4(2t-3)^3}{\left(2t-3\right)^2}\\</p>\\<p>3t^6-18t^4+36t^2-24\\<br>\\-(2t^5-3t^4-8t^3+12t^2+8t-12)\\<br>\\8t^4-24t^3+2t^2+48t-36\\<br>\\-(32t^3-144t^2+216t-108)\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\\</p>\\<p>\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\cdot\frac{2t-3}{t^2-3t+2}\cdot\frac{2\left(t^2-3t+2\right)}{\left(2t-3\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}<br>\\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|}</p>\\<p>& 3&-2&-7&-48&170&-176&60\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}&-\frac{13}{4}&-\frac{423}{8}&\frac{1451}{16}&-\frac{1279}{32}&\frac{3}{64}\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&7&\frac{29}{4}&-42&\frac{443}{16}&\frac{25}{16}& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{23}{2}&\frac{49}{2}&-\frac{21}{4}&\frac{317}{16}&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&16&\frac{97}{2}&\frac{135}{2}&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{41}{2}&\frac{317}{4}&&&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&25&&&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&&&&&& \\ \hline</p>\\<p>\end{tabular}\\</p>\\<p>3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=3\left(t-\frac{3}{2}\right)^6+25\left(t-\frac{3}{2}\right)^5+\frac{317}{4}\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\frac{135}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{317}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{64}\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=\frac{3}{64}\left(2t-3\right)^6+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)^5+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^4+\frac{135}{16}\left(2t-3\right)^3+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^2+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)+\frac{3}{64}\\</p>\\<p>\frac{3}{32}\int{\left(2t-3\right)^2\mbox{d}t}+\frac{25}{16}\int{\left(2t-3\right)\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^2}}+\frac{25}{16}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{3}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^4}}+\frac{135}{8}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)}}</p>\\<p>

 

Po scałkowaniu dostaniemy liczbę

=-\frac{1}{8}\left(101\sqrt{2}+135\ln{\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 17.09.2018 - 18:51

  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.09.2018 - 13:13


Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera

 

Rozkład na ułamki proste mnie zniechęcił :) apropos -  fajnie to przeprowadziłeś na końcu

 

Pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.09.2018 - 13:17

To jedno z zastosowań schematu Hornera
Stosowany wielokrotnie daje rozkład wielomianu na sumę potęg dwumianu

A jeśli chodzi o te debilne demoty to pasuje do nich całka

 

\int_{10}^{13}{2x\mbox{d}x}


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 24.09.2018 - 02:08

  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2018 - 01:17

Wiem, wiem co zostawałeś - ja myślałem o Ostrogradzkim :)

 

\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{3t^2}{16}+t+\frac{97}{32}+\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{32\left(16t^4-96t^3+216t^2-216t+81\right)}

 

W sumie w wolnej chwili jeszcze sobie to rozpiszę:)

 

 

Pozdrawiam


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 27.09.2018 - 01:18

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 901 postów
414
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.09.2018 - 13:01

Ostrogradskim też można

 

\gcd{Q\left(x\right),Q'\left(x\right)}

 

możesz liczyć na dwa sposoby

 

1. Korzystając z rozkładu na czynniki

2. Korzystając z algorytmu kolejnych dzieleń
Bierzesz reszty z kolejnych dzieleń
Przypomina to algorytm Euklidesa dla liczb

 

\frac{1}{32}\int{\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}=\frac{a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}}{\left(2t-3\right)^3}+\int{\frac{b_{0}}{2t-3}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)^3-6\left(2t-3\right)^2\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^6}+\frac{b_{0}}{2t-3}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\frac{2160t^3-9086t^2+12728t-5937}{\left(2t-3\right)^4}=\frac{\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)}{\left(2t-3\right)^4}+\frac{b_{0}\left(2t-3\right)^3}{\left(2t-3\right)^4}\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(2a_{2}t+a_{1}\right)\left(2t-3\right)-6\left(a_{2}t^2+a_{1}t+a_{0}\right)+b_{0}\left(2t-3\right)^3\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=\left(4a_{2}t^2-6a_{2}t+2a_{1}t-3a_{1}\right)-\left(6a_{2}t^2+6a_{1}t+6a_{0}\right)+b_{0}\left(8t^3-36t^2+54t-27\right)\\</p>\\<p>\frac{1}{32}\cdot\left(2160t^3-9086t^2+12728t-5937\right)=8b_{0}t^3+\left(-36b_{0}-2a_{2}\right)t^2+\left(54b_{0}-6a_{2}-4a_{1}\right)t+\left(-27b_{0}-3a_{1}-6a_{0}\right)\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 27.09.2018 - 13:30

  • 1