Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka z demotów

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3464 postów
3055
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.08.2018 - 07:50

pre_1534920283__demot.jpg

 

Zakładając, że S to całka mamy:

 

\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}dx=\int \frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4}}}dx=[u=x-\frac{3}{2}]=2\cdot \int \:\frac{3\left(u+\frac{3}{2}\right)^3-\left(u+\frac{3}{2}\right)^2+2u-1}{\sqrt{4u^2-1}}du

 

u=\frac{1}{2}\sec \left(v\right)

 

=2\cdot \frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)\left(3\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^3-\left(\frac{1}{2}\sec \left(v\right)+\frac{3}{2}\right)^2+\sec \left(v\right)-1\right)dv

 

=2\cdot \frac{1}{2}\left(\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv+\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv\right)

 

\re \int \:\sec ^n\left(x\right)dx=\frac{\sec ^{n-1}\left(x\right)\sin \left(x\right)}{n-1}+\frac{n-2}{n-1}\int \sec ^{n-2}\left(x\right)dx

 

\int \frac{3\sec ^4\left(v\right)}{8}dv=\frac{3}{8}\cdot \int \:\sec ^4\left(v\right)dv=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\cdot \int \:\sec ^2\left(v\right)dv\right)=\frac{3}{8}\left(\frac{\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)}{3}+\frac{2}{3}\tan \left(v\right)\right)=\frac{1}{8}\sec ^3\left(v\right)\sin \left(v\right)+\frac{1}{4}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{25\sec ^3\left(v\right)}{8}dv=\frac{25}{8}\cdot \int \:\sec ^3\left(v\right)dv=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv\right)=\frac{25}{8}\left(\frac{\sec ^2\left(v\right)\sin \left(v\right)}{2}+\frac{1}{2}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|\right)

 

\int \frac{77\sec ^2\left(v\right)}{8}dv=\frac{77}{8}\tan \left(v\right)

 

\int \frac{55\sec \left(v\right)}{8}dv=\frac{55}{8}\cdot \int \:\sec \left(v\right)dv=\frac{55}{8}\ln \left|\tan \left(v\right)+\sec \left(v\right)\right|

 

całkę           \int sec(x)dx =\int \frac{dx}{cos(x)}         policzyć z opracowania         http://matma4u.pl/to...67-całka-1cosx/

 

powracamy do wyjściowej zmiennej

v=arcsec \left(2u\right),\:u=x-\frac{3}{2}

 

Po obliczeniu granic dostajemy ... -\frac{135\sqrt{2}\ln \left(3-2\sqrt{2}\right)+404}{16\sqrt{2}} czyli ujemną liczbę bliską -3... dziwny PIN ;/


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.08.2018 - 09:51

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 866 postów
396
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 17.09.2018 - 11:39

Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera
\sqrt{x^2-3x+2}=t-x

 

Po zastosowaniu liniowości mielibyśmy całkę z potęgi

Ale tak jest modnie po amerykańsku

 

 

\int{\frac{3x^3-x^2+2x-4}{\sqrt{x^2-3x+2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2-3x+2}=t-x\\</p>\\<p>x^2-3x+2=t^2-2tx+x^2\\<br>\\-3x+2=t^2-2tx\\</p>\\<p>t^2-2=2tx-3x\\</p>\\<p>x\left(2t-3\right)=t^2-2\\</p>\\<p>x = \frac{t^2-2}{2t-3}\\</p>\\<p>t-x=\frac{t^2-3t+2}{2t-3}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t-3\right)-2(t^2-2)}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t^2-6t+4}{(2t-3)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3\left(t^2-2\right)^3-(t^2-2)^2(2t-3)+2(t^2-2)(2t-3)^2-4(2t-3)^3}{\left(2t-3\right)^2}\\</p>\\<p>3t^6-18t^4+36t^2-24\\<br>\\-(2t^5-3t^4-8t^3+12t^2+8t-12)\\<br>\\8t^4-24t^3+2t^2+48t-36\\<br>\\-(32t^3-144t^2+216t-108)\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60\\</p>\\<p>3x^3-x^2+2x-4=\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\\</p>\\<p>\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{(2t-3)^3}\cdot\frac{2t-3}{t^2-3t+2}\cdot\frac{2\left(t^2-3t+2\right)}{\left(2t-3\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>2\int{\frac{3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60}{\left(2t-3\right)^4}\mbox{d}t}<br>\\\begin{tabular}{c|c|c|c|c|c|c|c|}</p>\\<p>& 3&-2&-7&-48&170&-176&60\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&\frac{5}{2}&-\frac{13}{4}&-\frac{423}{8}&\frac{1451}{16}&-\frac{1279}{32}&\frac{3}{64}\\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&7&\frac{29}{4}&-42&\frac{443}{16}&\frac{25}{16}& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{23}{2}&\frac{49}{2}&-\frac{21}{4}&\frac{317}{16}&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&16&\frac{97}{2}&\frac{135}{2}&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&\frac{41}{2}&\frac{317}{4}&&&& \\ \hline</p>\\<p>\frac{3}{2}&3&25&&&&& \\ \hline<br>\\\frac{3}{2}&3&&&&&& \\ \hline</p>\\<p>\end{tabular}\\</p>\\<p>3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=3\left(t-\frac{3}{2}\right)^6+25\left(t-\frac{3}{2}\right)^5+\frac{317}{4}\left(t-\frac{3}{2}\right)^4+\frac{135}{2}\left(t-\frac{3}{2}\right)^3+\frac{317}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)^2+\frac{25}{16}\left(t-\frac{3}{2}\right)+\frac{3}{64}\\<br>\\3t^6-2t^5-7t^4-48t^3+170t^2-176t+60=\frac{3}{64}\left(2t-3\right)^6+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)^5+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^4+\frac{135}{16}\left(2t-3\right)^3+\frac{317}{64}\left(2t-3\right)^2+\frac{25}{32}\left(2t-3\right)+\frac{3}{64}\\</p>\\<p>\frac{3}{32}\int{\left(2t-3\right)^2\mbox{d}t}+\frac{25}{16}\int{\left(2t-3\right)\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\mbox{d}t}+\frac{317}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^2}}+\frac{25}{16}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^3}\mbox{d}t}+\frac{3}{32}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)^4}}+\frac{135}{8}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(2t-3\right)}}</p>\\<p>

 

Po scałkowaniu dostaniemy liczbę

=-\frac{1}{8}\left(101\sqrt{2}+135\ln{\left(\sqrt{2}-1\right)}\right)


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 17.09.2018 - 18:51

  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3464 postów
3055
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.09.2018 - 13:13


Nie lepiej było zastosować pierwsze podstawienie Eulera

 

Rozkład na ułamki proste mnie zniechęcił :) apropos -  fajnie to przeprowadziłeś na końcu

 

Pozdrawiam


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską