Zostałem wywołany do tablicy przez Pana.
Na podstawie wzoru Newtona-Leibniza, otrzymujemy wartość dokładną całki:
Mając dokładną wartość całki, chcemy tę wartość potwierdzać metodami przybliżonymi w postaci kwadratur (zadanie według mnie sztuczne, aczkolwiek mające na celu poznanie podstawowych metod numerycznego całkowania i dokładności tych metod) .
Kwadratury Newtona-Cotesa
Kwadratury Newtona-Cotesa są to kwadratury oparte na węzłach wielomianu interpolacyjnego Lagrange'a
gdzie:
Dla i otrzymujemy wielomian interpolacyjny Lagrange'a pierwszego stopnia
Całkując w granicach od do , otrzymujemy kwadraturę Newtona-Cotesa rzędu pierwszego:
Jest to tzw. wzór trapezu.
Podstawiając
otrzymamy:
Jak widzimy ta kwadratura nie nadaje się do aproksymacji wartości całki bo błąd względny przybliżenia wynosi:
Można zwiększyć dokładność obliczenia tej całki - stosując złożoną kwadraturę trapezów, którą wyprowadzamy podobnie, uwzględniając wielomian interpolacyjny Lagrange'a stopnia
Błąd tej kwadratury wynosi:
W naszym przypadku na przykład dla węzłów
i programu Maple 6
> with(student);
> trapezoid( x^3, x =0 . . 3, 10);
>evalf(\%);
> 20,4525
Błąd tego przybliżenia wynosi
Kwadratura prostokątów
Kwadratura prostokątów należy do najprostszych kwadratur Gaussa-Legendre'a.
Kwadratury Gaussa są to kwadratury oparte na węzłach, które są pierwiastkami wielomianów ortogonalnych w przedziale z wagą
Nie wchodząc w teorię wielomianów ortogonalnych Legendre'a i teorię tych kwadratur - postać tej kwadratury:
W naszym przypadku dla ( trzech węzłów)
Do obliczenia wartości całki wykorzystamy prosty program napisany w Octave 4.2.1
function c = prostokw( f, a, b, N )
h = (b-a)/N ;
x = ( a + h/2 : h : b)
y = f(x);
c = h*sum(y);
endfunction
prostokw(x^3, 0,3, 3)
>> answ = 19.125
Błąd względny przybliżenia wynosi
Stąd wynika, że kwadratury Gaussa:
-mają dużo wyższą dokładność od kwadratur Newtona-Cotesa,
- są dokładne dla wielomianów stopnia , podczas gdy kwadratury Newtona-Cotesa są dokładne tylko dla wielomianów stopnia
- możemy ich używać do numerycznego obliczania całek z osobliwościami, z którymi spotykamy się często na przykład w fizyce.
Są jeszcze inne kwadratury na przykład kwadratury: Romberga, Radau, Lobato, z którymi warto zapoznać się, studiując przedmiot Metody Numeryczne.
Z kwadraturami Romberga - bardzo szybko zbieżnymi , opartymi na ekstrapolacyjnym schemacie Neville'a - Richardsona i błędami wynikającymi z ich stosowania może się Pan zapoznać między innymi w pracy, którą miałem przyjemność napisać z Profesorem Andrzejem Kiełbasińskim na Uniwersytecie Warszawskim w roku 1985.
Andrzej Kiełbasiński, Janusz Chojnacki. Błędy zaokrągleń w algorytmie Romberga. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego 1985.