Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Oblicz pole pięciokata Reuleaux

Planimetria i przekształcenia geometryczne

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 KaJaK

KaJaK

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.07.2017 - 08:37

Oblicz pole pięciokąta Reuleaux o boku a


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.07.2017 - 17:58

Odsyłam do posta http://matma4u.pl/to...onometrycznych/

 

pre_1500543479__pieciokat_reuleaux.jpg

Do obliczenia pole trójkąta Reuleauxa potrzebujemy pole odcinka koła a w zasadzie pięciu takich samych odcinków i pola pięciokąta foremnego.

 

Pole pięciokąta

 

P=\frac{a^2\sqrt{5(5+2\sqrt{2})}}{4}

 

Odcinek ten to różnica pól wycinka koła o promieniu d(przekątna pięciokąta) i katcie rozwarcia 36^{\circ} i trójkąta równoramiennego o bokach a,d,d (o kącie między bokami d,d równym 36^{\circ}.

 

Pole wycinka koła takie wyraża się wzorem

 

P=\frac{\alpha}{360}\cdot \pi \cdot r^2

 

adaptując do naszego zadania

 

P=\frac{1}{10} \pi \cdot d^2=\[d=\frac{\sqrt{5}+1}{2}a\]=\frac{1}{10} \pi \cdot \(\frac{\sqrt{5}+1}{2}a\)^2=\frac{1}{10} \pi \cdot \frac{6+2\sqrt{5}}{4}a^2=\pi \cdot \frac{3+\sqrt{5}}{20}a^2

 

pole trójkąta P=\frac{1}{2}d^2\cdot sin(36^{\circ})

 

Powstaje więc pytanie ile wynosi sin(36^{\circ})

 

Na podstawie wzorów

 

sin0(x)=\sqrt{1-cos^2(x)}

 

sin(2x)=2sin(x)cos(x)                    

 

cos(\frac{x}{2})=\sqrt{\frac{1+cos(x)}{2}}   

 

mamy (pomijam symbol stopnia)

 

sin(72)=2sin(36)cos(36)

 

sin(90-18)=2sin(36)cos(36)

 

cos(18)=2\sqrt{1-cos^2(36)}\cdot cos(36)

 

\cos\(\frac{36}{2}\)=2\sqrt{1-cos^2(36)}\cdot cos(36)

 

\sqrt{\frac{1+cos(36)}{2}}=2\sqrt{1-cos^2(36)}\cdot cos(36)

 

podstawienie cos(36)=x

 

\sqrt{\frac{1+x}{2}}=2\sqrt{1-x^2}\cdot x               ()^2

 

{\frac{1+x}{2}=4x^2(1-x^2)

 

1+x=8x^2(1-x)(1+x)

 

cos(36) to nie jest -1 więc możemy podzielić przez (1+x) obustronnie

 

1=8x^2(1-x)

 

8x^3-8x^2+1=0

 

\left(2x-1\right)\left(4x^2-2x-1\right)=0

 

cos(36) to nie jest \frac{1}{2} więc dalej możemy ograniczyć się do

 

4x^2-2x-1=0

 

x=\frac{1+\sqrt{5}}{4}    drugi pierwiastek odrzucamy ponieważ jest ujemny

 

zatem

 

cos(36)=\frac{1+\sqrt{5}}{4}

 

z jedynki trygonometrycznej mamy

 

sin(36)=\frac{\sqrt{10-2\sqrt{5}}}{4}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.07.2017 - 18:45

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską