Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 kotpies

kotpies

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 1 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 10.06.2017 - 17:53

Mam problem z obliczeniem następującej całki:
\int_{S}^{} \int_{}^{}x^2dydz+y^2dzdx+z^2dxdy , gdzie S jest górną stroną części powierzchni stożka z=\sqrt{x^2+y^2 zawartą w walcu x^2+y^2=1

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 11.06.2017 - 18:04

Sposób III  ( język form różniczkowych ) 

 

Skorzystamy z twierdzenia George'a Stokesa:

 

 \int_{\partial{(S^2) } } \overbrace{\omega}^{2} = \int_{(S^2)} d\overbrace{\omega}^{2}.

 

Znajdujemy różniczkę  zewnętrzną  2- formy

 

\overbrace{\omega}^{2} = x^2 dy\wedge dz +y^2 dz\wedge dx + z^2 dx\wedge dy.

 

 d\overbrace{\omega}^{2} =d( x^2 dy\wedge dz) + d(y^2 dz\wedge dx) + d(z^2 dx\wedge dy).

 

 d\overbrace{\omega}^{2} = 2x\wedge dx dy\wedge dz + 2ydy\wedge dz\wedge dx + 2z dz\wedge dx\wedge dy.

 

 d\overbrace{\omega}^{2} = 2x\wedge dx\wedge dy\wedge dz + 2ydx\wedge dy \wedge dz + 2z dx\wedge dy\wedge dz = 2[x+y+z]dx\wedge dy\wedge dz .

 

Forma \overbrace{\omega}^{2}  zdefiniowana jest na  R^{3} , aby ją można było scałkować po  (S^2) trzeba ją najpierw obciąć do  (S^2). .

 

W tym celu zapisujemy włożenie   \kappa: S^2 \rightarrow R^{3}  we współrzędnych walcowych (cylindrycznych)

 

 \kappa( \phi, r ) = ( r\cos(\phi), \ \ r\sin(\phi),\ \ z ),

 

z orientacją zadaną przez bazę  ( e_{\phi}, \ \ e_{r}, \ \ e_{z} ) = ( -r\sin(\phi)e_{1} + r\cos(\phi)e_{2}, \ \ \cos(\phi)e_{1} +\sin(\phi)e_{2}, \ \ e_{3})

 

Obcięcie formy do stożka w walcu jednostkowym realizuje się jako pull-back za pomocą włożenia

 

 \kappa^{*}(d\overbrace{\omega}^2) = 2[ r\cos(\phi) +r\sin(\phi) +z]d(r\cos(\phi)) \wedge d(r\sin(\phi))\wedge d(z).

 

\kappa^{*}(d\overbrace{\omega}^2) = 2[ r\cos(\phi) +r\sin(\phi) + z] [\cos(\phi)dr -r\sin(\phi)d\phi]\wedge[ \sin(\phi)dr +r\cos(\phi)d\phi)]\wedge dz.

 

\kappa^{*}(d\overbrace{\omega}^2) = 2[ r\cos(\phi) +r\sin(\phi) + z] [r^2\cos(\phi)dr\wedge d\phi \wedge dz -r\sin^2(\phi)d\phi \wedge dz] .

 

 

\kappa^{*}(d\overbrace{\omega}^2) = 2[ r\cos(\phi) +r\sin(\phi) + z][ r(\cos^2(\phi)+\sin^2(\phi)]dr\wedge d\phi\wedge dz = 2[r^2\cos(\phi) +r^2\sin(\phi) +rz]dz\wedge dr \wedge d\phi.

 

Obszar całkowania  we współrzędnych walcowych to  [0, 2\pi] \times [0, 1] \times [ 0, r].

 

 J= \int_{(S^2-)} \overbrace{\omega}^2 = -2 \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{0}^{r} ( r^2\cos(\phi)+ r^2\sin(\phi) +rz )dz dr d\phi.

 

Obliczamy kolejno całki iterowane.

 

 J_{1} = \int_{0}^{r} [ r^2\cos(\phi) + r^2\sin(\phi) +rz)dz = \left \[zr^2\cos(\phi)+ zr^2\sin(\phi) +r\frac{z^2}{2} \right \]_{0}^{r}= r^3 \left\( \cos(\phi) +\sin(\phi) + \frac{1}{2}\right\).

 

 J_{2} = \int_{0}^{1}r^3 \left\( \cos(\phi) +\sin(\phi) + \frac{1}{2}\right\)dr = \left\[ \frac{1}{4}r^4 \left( \cos(\phi)+\sin(\phi) +\frac{1}{2}\right\)\right\]_{0}^{1}= \frac{1}{4} \left\( \cos(\phi) +\sin(\phi +\frac{1}{2}\right\) .

 

 J_{3}= J = -\frac{1}{2}\int_{0}^{2\pi} \left\( \cos(\phi) +\sin(\phi) + \frac{1}{2}\right)d\phi = -\frac{1}{2}\left\[ \sin(\phi) -\cos(\phi)+\frac{1}{2}\phi \right\]_{0}^{2\pi}.

 

 J = -\frac{1}{2} ( 0, -1 +\pi -0 +1 -0) = -\frac{1}{2}\pi.


  • 0