Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

przebieg zmienności funkcji

Funkcje

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 vulnera

vulnera

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.06.2017 - 17:00

Proszę o pomoc przy badaniu zmienności funkcji:
y=ln(x-1/x)

Potrzebuje:
parzystość/nieparzystość
punkty przecięcia z osiami
granice na końcach dziedziny
asymptoty
analizę 1. pochodnej
analizę 2. pochodnej
wypukłości i punkty przegięcia


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.06.2017 - 15:29

Funkcja nie jest parzysta bo nie zachodzi f(x)=f(-x) możesz wykazać dla jakiegoś argumentu

Funkcja nie jest także nieparzysta gdyż nie zachodzi f(x)=-f(-x)

 

Miejsca zerowe

x_1=\frac{1-sqrt{5}}{2}

x_1=\frac{1+sqrt{5}}{2}

 

przecięcia z osią Y brak wszak f(0) jest niepoliczalne

 

reszta później


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 06.06.2017 - 15:46

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.06.2017 - 18:50

Powinieneś zacząć od ustalenia dziedziny:

 

x-\frac1x>0\quad\to\quad x\in(-1,\,0)\,\cup\,(1,\,\infty)


  • 0

#4 vulnera

vulnera

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 07.06.2017 - 15:52

Dziękuję bardzo za pomoc. Czy mogłabym jeszcze dzisiaj liczyć na dokończenie zadania?

Z góry dziękuję.


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 08.06.2017 - 14:18

Jeszcze odnośnie miejsc zerowych: Logarytm się zeruje dla argumentu równego 1 więc obliczamy x-\frac{1}{x}=1 stąd otrzymujemy te dwa miejsca zerowe.

 

Kinia dobrze Ci radzi - zawsze zaczynaj obliczenia przebiegu funkcji od dziedziny. Założyłem, że to masz już obliczone

 

granice na końcach dziedziny

 

\lim _{x\to -1_{+}}\left(ln\left(x-\frac{1}{x}\right)\right)=-\infty         bo

 

\lim _{x\to \:-1_{+}}\left(x-\frac{1}{x}\right)=0    a    jak wiadomo logarytm z zera (z prawej strony) dąży do -\infty

 

Podobnie możesz udowodnić

 

\lim _{x\to 0_{-}}\left(\ln \left(x-\frac{1}{x}\right)\right)=\infty \:

 

\lim _{x\to 1_{+}}\left(\ln \left(x-\frac{1}{x}\right)\right)=-\infty \:

 

\lim _{x\to \infty}\left(\ln \left(x-\frac{1}{x}\right)\right)=\infty \:

 

Z powyższego masz asymptoty - do samodzielnej dedukcji

 

Pochodna

 

f'(x)=\left(\ln \left(x-\frac{1}{x}\right)\right)'=\frac{1}{x-\frac{1}{x}}\left(1+\frac{1}{x^2}\right)=\frac{x^2+1}{x\left(x^2-1\right)}

 

W zadanej dziedzinie wartości tylko dodatnie czyli nasza funkcja jest rosnąca w całej dziedzinie i brak ekstremów - ale sprawdź jeszcze :)

 

II Pochodna

 

f''(x)=\frac{2x\cdot x\left(x^2-1\right)-\left(3x^2-1\right)\left(x^2+1\right)}{\left(x\left(x^2-1\right)\right)^2}=\frac{-x^4-4x^2+1}{x^2\left(x^2-1\right)^2}

 

W zadanej dziedzinie funkcja ta zeruje się tylko dla x=-\sqrt{\sqrt{5}-2} tam też mamy punkt przecięcia


-------------------------- Badanie przebiegu zmienności funkcji --------------------

 

W skład badania wchodzi

  1. Dziedzina funkcji
  2. Miejsca zerowe, parzystość, nieparzystość, okresowość
  3. Granice na krańcach dziedziny i w punktach nieciągłości - wyznaczenie asymptot
  4. Pochodna
  • (Dziedzina pochodnej)
  • Punkty stacjonarne
  • Funkcja rosnąca
  • Funkcja malejąca
  • Minima i maksima (lokalne)
  • Wartości ekstremalne 

       5.Druga pochodna

  • (Dziedzina drugiej pochodnej)
  • Miejsca zerowe drugiej pochodnej
  • Funkcja wypukła
  • Funkcja wklęsła
  • Punkty przegięcia
  • Wartości funkcji w punktach przegięcia

Można ewentualnie coś dodać


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 08.06.2017 - 14:05

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: przebieg zmienności funkcji     x