Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

usługi telekomunikacyjne

Statystyka matematyczna

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 947 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 03.05.2017 - 11:09

Wyznaczyc na podstawie wyników z próby przedział ufnosci dla srednich miesiecznych opłat za usługi
telekomunikacyjne w rodzinach 4-osobowych. Obliczyc takze maksymalny bład szacunku. Przyjmij wsp.
ufnosci równy 0,98. Zanalizuj nastepujace przypadki:

a) w próbie 10 losowo wybranych rodzin otrzymano srednia dla opłat równa 256 zł., odchylenie standardowe
równe s=30 zł. Zakładamy, ze rozkład miesiecznych opłat w populacji 4-osobowych rodzin jest normalny
z wariancja wynoszaca 900 zł2.

b) w próbie 10 losowo wybranych rodzin otrzymano srednia dla opłat równa 256 zł., odchylenie standardowe
s=30 zł. Zakładamy, ze rozkład miesiecznych opłat w populacji 4-osobowych rodzin jest normalny, jednak
nie znamy wariancji opłat w populacji.

c) w próbie liczacej 100 rodzin otrzymano srednia dla opłat równa 256 zł. i odchylenie standardowe równe
30 zł.

d) od czego zalezy precyzja oszacowania parametrów ?

e) do podpunktów a, b i c oszacowac minimalna liczebnosc próby, tak aby bład szacunku srednich
miesiecznych opłat nie przekroczył 20zł.


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.05.2017 - 21:15

b)

 

Dwustronny przedział ufności dla średniej (rozkład normalny,  mała próba, \sigma - znane).

 

\langle \overline{X_{10}} - \frac{S_{10}u_{0,02}}{\sqrt{10 -1}}, \ \  \overline{X_{10}} + \frac{S_{10} u_{0,02}}{\sqrt{10 -1}} \rangle (1)

 

 u_{0,02} jest kwantylem rozkładu Studenta rzędu  0,02 o  n-1 = 10-1 = 9 stopniach swobody.

 

Z tablicy  rozkładu Studenta odczytujemy wartość tego kwantyla  równą  2,821.

 

Podstawiając dane liczbowe do wzoru (1), otrzymujemy przedział:

 

 \langle 256 - \frac{30\cdot 2,821}{3}, \ \  256 + \frac{30 \cdot 2,821}{3} \rangle = \langle 227,79; \ \ 284, 21 \rangle  zł.

 

Błąd precyzji oszacowania  d =\frac{30 \cdot 2,821}{3} = 28,21 zł.

 

Interpretacja otrzymanego przedziału ufności

 

Należy oczekiwać, że przedział o końcach  227, 79 , \ \ 284, 21 złotych jest tym przedziałem ufności, który z prawdopodobieństwem  0,98 pokryje średnie miesięczne opłaty za usługi komunikacyjne w populacji  4 osobowych rodzin, a nie tylko  próby 10- elementowej.

 

Podobnie:

 

 a) ( \sigma znane)  -  dzielimy przez  \sqrt{n}= \sqrt{10}  i  wartość kwantyla  u_{\alpha}  rzędu  1 - \frac{\alpha}{2} = 1 - 0,01 =0,99 - odczytujemy z tablicy standaryzowanego rozkładu normalnego.

 

Błąd precyzji  obliczamy ze wzoru  d = \frac{u_{\alpha}\sigma}{\sqrt{n}}.


  • 1

#3 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 947 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.05.2017 - 13:00

a inne podpunkty?


jak odczytac wartosc u_{\alpha}? bo nie mogę tablic znalesc:(


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.05.2017 - 18:22

http://www.naukowiec...udenta_248.html

 

U odczytujesz dla nieskończoności


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 kate84

kate84

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 947 postów
67
Mały Pomocnik III
  • Płeć:Kobieta

Napisano 15.05.2017 - 18:29

czyli 1,64?


  • 0

#6 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3035 postów
1407
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 16.05.2017 - 18:17

a) 

 

Przedział ufności dla średniej, gdy znany jest rozkład  X miesięcznych opłat w populacji rodzin 4-osobowych i znana jest wariancja (odchylenie standardowe).

 

 P \left( \langle \overline{X}_{n} - \frac{s u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}_{n} - \frac{s u_{\alpha}}{\sqrt{n}} \rangle \right) = 1-\alpha.

 

Dane:

 

 n = 10, \ \ 1-\alpha = 0,98 \rightarrow \alpha = 0,02, \ \ \overline{X}_{10} = 256 zł,  s = 30 zł.

 

 

Kwantyl rzędu  \alpha = 0,02 rozkładu normalnego dla dwustronnego przedziału ufności wyznaczamy z  równania:

 

\phi(u_{0,02}) = 1 - \frac{0,02}{2} = 1- 0,01 = 0,99.

 

Z tablicy dystrybuanty rozkładu normalnego lub programu komputerowego na przykład R odczytujemy

 

Program R

> ualfa = qnorm(0.99)
> ualfa 
[1] 2.326348

 P \left( \langle 256 - \frac{30 \cdot 2,33 }{\sqrt{10}} \leq \mu \leq 256 + \frac{30\cdot 2,33}{\sqrt{10}} \rangle \right) = 0,98.

 

Program R

> L = 256 - 30*2.33/sqrt(10)
> L
[1] 233.8957
> P = 256 + 30*2.33/sqrt(10)
> P
[1] 278.1043
 
 P\left( \langle 234 zl \leq \mu \leq 278 zl \rangle \right) = 0,98. 
 
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności
 
Należy oczekiwać, że przedział o końcach  234 zł ,  278 zł. jest tym przedziałem, który z prawdopodobieństwem 0,98 pokryje średnie miesięczne opłaty telekomunikacyjne rodzin 4-osobowych, a nie tylko próby dziesięciu rodzin.

 

 

c)

 

Przedział ufności dla średniej, gdy rozkład  X miesięcznych opłat w populacji 4 -osobowych rodzin jest nieznany - duża próba.

 

 P\left( \langle \overline{X}_{n} - \frac{S_{n} u_{\alpha} }{\sqrt{n}} \leq \mu \leq \overline{X}_{n} + \frac{S_{n} u_{\alpha} }{\sqrt{n}}\rangle \right)= 1-\alpha.

 

 P\left( \langle 256 zl - \frac{30 \cdot 2,33}{\sqrt{100}} \leq \mu \leq 256 zl + \frac{30 \cdot 2,33 }{\sqrt{100}} \rangle \right)= 0,98.

 

Program R

[1] 278.1043
> L = 256 - 30*2.33/10 
> L
[1] 249.01
> P = 256 +30*2.33/10
> P
[1] 262.99
 
 P\left( \langle 249 zl \leq \mu \leq 263 zl \rangle \right) = 0,98.
 
Interpretacja otrzymanego przedziału ufności 
 
Z ufnością 0,98 należy oczekiwać, że przedział o końcach  249  zł   263 zł jest tym przedziałem ufności, który pokryje średnie miesięczne opłaty telekomunikacyjne 4 - osobowych rodzin a nie tylko próby 100 rodzin.

d)

 

Precyzja oszacowania średniej  zależy od:

 

- ilości próby  n,

 

- przyjętego poziomu ufności  1- \alpha.

 

e)

 

Dla podpunktu a)  minimalna liczebność próby:

 

 d = \frac{u_{\alpha}\cdot s }{\sqrt{n}} ,

 

 n_{min} \geq \frac{u_{0,02} s^2}{d^2},

 

 n_{min}\geq \frac{2,33 \cdot 30^2}{20^2} = 6 rodzin 4-osobowych.

 

 

Program R

> n_min= 2.33*30^2/20^2
> n_min
[1] 5.2425
 
Dla podpunktu b) 
 
 n_{min} \geq \frac{t_{0,02} s^2}{d^2},
 
 n_{min} \geq \frac{2,82 \cdot 30^2}{20^2} = 7 rodzin 4-osobowych.
 
 
Program R
 


> n_min = 2.82*30^2/20^2
> n_min
[1] 6.345

 

Dla podpunktu c)

 

 n_{min} \geq \frac{u_{0,02} S^2}{d^2},

 

 n_{min}\geq \frac{2,33 \cdot 30^2}{20^2} = 6 rodzin 4-osobowych.

 

Program R

> n_min= 2.33*30^2/20^2
> n_min
[1] 5.2425
 

Program R

	> n_min= 2.33*30^2/20^2
	> n_min
	[1] 5.2425

Użytkownik janusz edytował ten post 17.05.2017 - 09:14

  • 1