Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Równanie różniczkowe

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
6 odpowiedzi w tym temacie

#1 fieria

fieria

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
1
Neutralny

Napisano 18.04.2017 - 14:59

Jak pokazać, że podane równanie różniczkowe ma czynnik podanej postaci i jak je rozwiązać?

(sqrt(x^2-y)+2x)dx-dy=0

\mu =f(x^2-y)


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3037 postów
1408
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.04.2017 - 18:31

 (\sqrt{x^2 - y} +2x )dx -1dy =0.

 

 P(x, y) = \sqrt{ x^2 -y} +2x, \ \ Q(x,y) = -1.

 

Równanie nie jest zupełne 

 

P'{_{|y}(x,y) = \frac{-1}{2\sqrt{x^2 -y }}\neq Q'_{|x}(x,y)= 0.

 

\frac{P'_{|y}(x,y) -Q'_{|x}(x,y)}{Q(x,y)} = \frac{1}{2}\sqrt{x^2 -y}.

 

\mu(x,y) = e ^{\int ( \frac{1}{2\sqrt{x^2 -y}})dx } = e ^{\frac{1}{2}ln(\sqrt{x^2 - y}+x)} = \left( \sqrt{x^2 - y}+x\right)^{\frac{1}{2}}.


Użytkownik janusz edytował ten post 19.04.2017 - 18:33

  • 0

#3 fieria

fieria

    Dyskretny

  • Użytkownik
  • 27 postów
1
Neutralny

Napisano 19.04.2017 - 19:35

Dziękuję za odpowiedź, ale mógłbyś mi wyjaśnić dlaczego czynnik całkujący to \sqrt{x+\sqrt{x^2-y}}? Równanie nadal nie będzie zupełne, po tym jak go przez niego przemnożę.


  • 0

#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.04.2017 - 10:13

Podstawienia

</p>\\<p>u=\frac{x^2}{y}\\</p>\\<p>u=\sqrt{x^2-y}\\</p>\\<p>

 

mogą być przydatne do znalezienia czynników całkujących


  • 0

#5 krzysztof65

krzysztof65

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.04.2017 - 13:17

za trudne równanie jak na mnie


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.04.2017 - 16:58
spam

  • 0

#6 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.04.2017 - 12:16

Można też skorzystać z podanej postaci czynnika całkującego

 

\mu=\mu\left[\omega\left(x,y\right)\right]\\<br>\\P=P\left(x,y\right)\\<br>\\Q=Q\left(x,y\right)\\<br>\\\frac{\partial \mu P}{\partial y}=\frac{\partial \mu Q}{\partial x}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P+\mu\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial \mu}{\partial x}Q+\mu\frac{\partial Q}{\partial x}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\frac{\partial Q}{\partial x}-\mu\frac{\partial P}{\partial y}\\<br>\\\frac{\partial \mu}{\partial y}P-\frac{\partial \mu}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\cdot\frac{\partial \omega}{\partial x}Q=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mbox{d}\omega}\left(\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q\right)=\mu\left(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}\mbox{d}\omega\\<br>\\\frac{\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}}{\frac{\partial \omega}{\partial y}P-\frac{\partial \omega}{\partial x}Q}=\varphi\left(\omega\right)\\<br>\\\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\varphi\left(\omega\right)\mbox{d}\omega<br>\\


  • 1

#7 janusz

janusz

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • 3037 postów
1408
Starszy Wykładowca I
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.04.2017 - 21:07

 \omega = x^2 -y.

 

 \mu = \mu(x^2 -y)= \mu(\omega) .

 

 

 \left( Q(x,y) \omega'_{|x} - P(x,y) \omega'_{|y}\right)\mu'(\omega)= (P'_{|y}(x,y) - Q'_{|x}(x,y) )\mu .

 

 [ -2x + (\sqrt{\omega}+ 2x)] \mu'(\omega) = \left( \frac{-1}{2\sqrt{\omega}} - 0 \right)\mu.

 

 \sqrt{\omega} \frac{d\mu}{d\omega} = -\frac{1}{2\sqrt{\omega}} \mu .

 

\mu(\omega) = \frac{1}{\sqrt{\omega}}.

 

 \mu( x^2 -y) = \frac{1}{\sqrt{x^2 - y}}.

 

 \left( 1 + \frac{2x}{\sqrt{x^2 -y}}\right ) dx - \frac{1}{\sqrt{x^2 -y }} dy = 0.

 

 \phi(x,y) = \int_{x_{0}}^{x}\left( 1 + \frac{2t}{\sqrt{t^2 -y}} \right)dt - \int_{y_{0}}^{y} \frac{1}{\sqrt{x^2 - t}}dt =...


  • 1





Tematy podobne do: Równanie różniczkowe     x