Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Ośmiokąt w okręgu

Planimetria i przekształcenia geometryczne

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 11.03.2017 - 21:30

Dany jest ośmiokąt wpisany w okrąg. Oblicz jego pole wiedząc, że pewne cztery kolejne jego boki mają długość równą jeden, a każdy z pozostałych czterech kolejnych boków ma długość równą dwa.

 

 

 

 


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3981 postów
4727
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 11.03.2017 - 22:38

\re P_8=2\sq{6+4\sq2}+\sq{9+4\sq2}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

  • 0

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 12.03.2017 - 12:21

Mam jeszcze pytanie o sposób rozwiązania. Mam równie "zakręcony wynik" z tym, że zaokrąglenie daje mi wynik lekko ponad 10

 

Zauważyłam, że jeśli połączę wierzchołki ze środkiem okręgu to dostanę dwa kąty proste, następnie wykorzystuje tw cosinusów. Postaram się to narysować choć jeszcze nie wiem jak ;-/


  • 0

#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 13.03.2017 - 00:56

pre_1489357827__osmiokat1_2.jpg

Koleżanka podała Ci odpowiedz, ale postanowiłem pomóc z rysunkiem

 

Chyba o To Ci chodziło

 

Masz tu cztery boki o długości 2 (odcinki między wierzchołkami  A,B,C,D,E) oraz pozostałe cztery o boku 1 (odcinki między wierzchołkami E,F,G,H,A) ... nie jest zachowana skala :)

 

Masz więc cztery kąty wierzchołkowe o mierze \alpha i cztery o bierze \beta

 

Jak łatwo obliczyć \alpha+\beta=90^{\circ}       Tak więc trafne spostrzeżenia

 

Skoro zatem trójkąt BOH jest prostokątny i równoramienny więc |BH|=r\sqrt{2}

 

Teraz można skorzystać z twierdzenia kosinusów

 

|BH|^2=|AB|^2+|AH|^2-2|AB||AH|\cdot cos(135^{\circ})

 

2r^2=2^2+1^2+2\cdot 2\cdot 1\cdot\(\frac{\sqrt{2}}{2}\)                              czyli                     r=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}+5}{2}}

 

Teraz możesz policzyć wysokości w trójkątach ABO oraz HAO właśnie przy pomocy tw. Pitagorasa

 

h_{ABO}=\sqrt{r^2-1^2}=\sqrt{\frac{2\sqrt{2}+3}{2}}

 

h_{HAO}=\sqrt{r^2-(\frac{1}{2})^2}=\sqrt{\frac{4\sqrt{2}+9}{4}}

 

czyli

 

P_{8k}=4\cdot \frac{1}{2}\cdot 2\cdot \sqrt{\frac{2\sqrt{2}+3}{2}}+4\cdot \frac{1}{2}\cdot 1\cdot \sqrt{\frac{4\sqrt{2}+9}{4}}=2\sqrt{2}\sqrt{2\sqrt{2}+3}+\sqrt{4\sqrt{2}+9}=2\sqrt{4\sqrt{2}+6}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}\approx \\10,65685424949238019520675489683879231427868750150779229270

 

Można ten wynik uprościć

 

4\sqrt{2}+6=4+4\sqrt{2}+2=(2+\sqrt{2})^2

a

9+4\sqrt{2}=1+4\sqrt{2}+8=(1+2\sqrt{2})^2

 

czyli

 

2\sqrt{4\sqrt{2}+6}+\sqrt{9+4\sqrt{2}}=2(2+\sqrt{2})+1+2\sqrt{2}=5+4\sqrt{2}


Tak to wygląda z zachowaniem kątów i boków

 

pre_1489362968__osmiokat_prawdziwy.jpg


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 13.03.2017 - 00:53

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Kinia7

Kinia7

    Wielki Analityk

  • ^Przyjaciele
  • 2892 postów
401
Instruktor II
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.03.2017 - 19:13

Ja zaproponuję jeszcze takie podejście:

Jeśli połączymy wszystkie wierzchołki ze środkiem okręgu, to otrzymamy cztery trójkąty równoramienne o bokach  r,\ 2,\ r  i kącie  2\alpha  między ramionami oraz cztery trójkąty równoramienne o bokach  r,\ 1,\ r  i kącie 2\beta  między ramionami. Jeśli połączymy środki boków ośmiokąta ze środkiem okręgu, to otrzymamy trójkąty prostokątne, z których wyliczymy
\sin\alpha=\fr1r \quad\to\quad \alpha=\arcsin\fr1r             \sin\beta=\fr{\fr12}{r} \quad\to\quad \beta=\arcsin\fr1{2r}
4(2\alpha+2\beta)=2\p \quad\to\quad \alpha+\beta=\fr\p4 \quad\to\quad  \cos(\alpha+\beta)=\cos\fr\p4=\fr{\sq2}2
\fbox{\ \cos(\alpha+\beta)=\cos\alpha\,\cos\beta-\sin\alpha\,\sin\beta\ }
\cos\(\arcsin\fr1r\)\cos\(\arcsin\fr1{2r}\)-\sin\(\arcsin\fr1r\)\sin\(\arcsin\fr1{2r}\)=\fr{\sq2}2
\fr{\sq{r^2-1}}{r}\cd\fr{\sq{4r^2-1}}{2r}-\fr1r\cd\fr1{2r}=\fr{\sq2}2\ /\cd2r^2
\sq{(r^2-1)(4r^2-1)}=\sq2r^2+1\ /^2\ \|\ \\r^2=x\\\ \|
(x-1)(4x-1)=2x^2+2\sq2x+1 \quad\to\quad x=\fr52+\sq2 \quad\to\quad r^2=\fr52+\sq2
pole mniejszego trójkąta równoramiennego  P_m=\fr12\cd1\cd\sq{r^2-\fr14}=\fr14\sq{4r^2-1}=\fr14\sq{9+4\sq2}
pole większego trójkąta równoramiennego  P_w=\fr12\cd2\cd\sq{r^2-1}=\sq{\fr32+\sq2}=\fr12\sq{6+4\sq2}
pole ośmiokąta  P_8=4(P_m+P_w)=4P_m+4P_w \quad\to\quad P_8=\sq{9+4\sq2}+2\sq{6+4\sq2}
\alpha=30,36119^{\circ}\ \ \ \ \  \beta=14,63881^{\circ}
 

  • 0