Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        LICEUM        

Trójkąt dowolny

Trygonometria

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
5 odpowiedzi w tym temacie

#1 Certina

Certina

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2017 - 10:25

Witam.

Jak obliczyć boki trójkąta gdy są dane: pole powierzchni i dwa kąty.

Np. pole=200

Kąt 1 = 50

Kąt 2 = 35


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3978 postów
4725
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 26.02.2017 - 19:06

Boki trójkąta oznaczę jako  a,\ b,\ c  i kąty leżące na przeciw nich odpowiednio jako  \alpha,\ \beta,\ \gamma

oraz promień okręgu opisanego na tym trójkącie jako  R

 

z tw. Snelliusa (tw. sinusów)

\bl\fbox{\fbox{\ \fr{a}{\sin\alpha}=\fr{b}{\sin\beta}=\fr{c}{\sin\gamma}=2R\ }}\gr\ \ \ \Rightarrow\ \{a=2R\sin\alpha\\b=2R\sin\beta\\c=2R\sin\gamma\ \ \ \(^{*1}\)

 

pole trójkąta

\bl\fbox{\fbox{\ P=\fr12ab\sin\gamma\ }}\gr\ \Rightarrow\ P=\fr12\cd2R\sin\alpha\cd2R\sin\beta\cd\sin\gamma\gr\ \Rightarrow\ R=\sq{\fr{P}{2\sin\alpha\sin\beta\sin\gamma}}

 

z ostatniego i z  \\(^{*1}\)

\bl\fbox{\fbox{\ a=\sq{\fr{2P\sin\alpha}{\sin\beta\sin\gamma}}\\\ b=\sq{\fr{2P\sin\beta}{\sin\alpha\sin\gamma}}\\\ c=\sq{\fr{2P\sin\gamma}{\sin\alpha\sin\beta}}\ }}\ \ \ \ \gr\ \Rightarrow\ \re\{a=20\sq{\fr{\sin50^{\circ}}{\sin35^{\circ}\sin85^{\circ}}}\approx23,157\\b=20\sq{\fr{\sin35^{\circ}}{\sin50^{\circ}\sin85^{\circ}}}\approx17,339\\c=20\sq{\fr{\sin85^{\circ}}{\sin35^{\circ}\sin50^{\circ}}}\approx30,115

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

 


  • 2

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2017 - 19:09

Pole trójkąta = \frac{1}{2}a\cdot b\cdot sin(\alpha)

 

kąt \alpha między tymi dwoma bokami

 

więc

 

\{P=\frac{1}{2} a\cdot b\cdot sin(\alpha)\\ P=\frac{1}{2} a\cdot c\cdot sin(\beta)\\ P=\frac{1}{2} b\cdot c\cdot sin(\gamma)

 

trzeci kąt masz z własności trójkąta \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}

 

Rozwiąż układ


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.02.2017 - 19:13

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Certina

Certina

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2017 - 22:08

Dziękuję bardzo za obydwie odpowiedzi.

Odpowiedź bb314 jest dla mnie czytelniejsza do wprowadzenia w programie.


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2017 - 23:32

pre_1488147907__podobne.jpg

Możesz jeszcze tak podejść - wykorzystując twierdzenie o figurach podobnych: Stosunek pól figur podobnych jest równy kwartantowi skali podobieństwa

 

Niech w małym trójkącie a=1 oraz wiemy, że:

 

h=c\cdot sin(\beta)                        bo                    sin(\beta)=\frac{h}{c}

h=b\cdot sin(\gamma)                                          z powyższego

oraz z tw. cosinusów

 

1=a^2=b^2+c^2-2bc\cdot cos(\alpha)

 

Z powyższych zależności obliczasz h, oraz b i c małego trójkąta. Dzięki czemu masz pole P=\frac{1}{2} a\cdot h=\frac{1}{2}h

 

I teraz korzystasz z twierdzeniach o figurach podobnych

 

\frac{P\Delta_d}{P\Delta_m}=k^2                     więc               \frac{200}{P\Delta_m}=k^2                P\Delta_d - pole trójkąta dużego

 

natomiast uzyskana skala pozwoli Ci obliczyć długości boków dużego trójkąta:

 

k\cdot a_m=a_d

 

k\cdot b_m=b_d

 

k\cdot c_m=c_d

 

Może do programu ciężko to zaimplementować, ale może pomysł wykorzystasz w innym projekcie :)


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 26.02.2017 - 23:38

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 Certina

Certina

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 3 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2017 - 18:26

Bardzo dziękuje.

Pisząc program trzeba uwzględnić wszystkie warianty. O pomyłkach nie ma mowy.

Miałem taki przypadek. Dane: pole i dwa boki trójkąta. I co, wynik się nie zgadza.

Po analizie - wniosek taki: jest więcej jak tylko jedno rozwiązanie. Dopisałem fragment kodu i ok. Trzeba więc być wnikliwym w swoich poczynaniach.


Jeszcze mam kłopot z jednym przypadkiem, dane:

bok a

pole

kąt na przeciw boku a

 

Nie wiem jak z podanych wzorów wyprowadzić, ale bez układów równań.


  • 0