Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 37

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.02.2017 - 13:07

\int \frac{x-1}{ \sqrt{-x^2 -4x+1}}dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.02.2017 - 18:30

Jeśli chcesz sprowadzić do całki z funkcji wymiernej to

 

</p>\\<p>-\left(x+2-\sqrt{5}\right)\left(x+2+\sqrt{5}\right)\\</p>\\<p>\sqrt{-\left(x+2-\sqrt{5}\right)\left(x+2+\sqrt{5}\right)}=\left(x+2+\sqrt{5}\right)t\\</p>\\<p>-\left(x+2-\sqrt{5}\right)\left(x+2+\sqrt{5}\right)=\left(x+2+\sqrt{5}\right)^2t^2\\</p>\\<p>-\left(x+2-\sqrt{5}\right)=\left(x+2+\sqrt{5}\right)t^2\\</p>\\<p>-x-2+\sqrt{5}=xt^2+\left(2+\sqrt{5}\right)t^2\\</p>\\<p>-x-xt^2=\left(2+\sqrt{5}\right)t^2+2-\sqrt{5}\\</p>\\<p>x\left(1+t^2\right)=-\left(2+\sqrt{5}\right)t^2-2+\sqrt{5}\\</p>\\<p>x=-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)t^2+2-\sqrt{5}}{1+t^2}=-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)t^2+2+\sqrt{5}-2\sqrt{5}}{1+t^2}=-2-\sqrt{5}+2\sqrt{5}\frac{1}{\left(1+t^2\right)}\\</p>\\<p>\left(x+2+\sqrt{5}\right)t=2\sqrt{5}\frac{t}{\left(1+t^2\right)}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=-2\sqrt{5}\cdot\left(t^2+1\right)^{-2}\cdot 2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=-4\sqrt{5}\frac{t}{\left(t^2+1\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\left(-\frac{\left(2+\sqrt{5}\right)t^2+2-\sqrt{5}}{1+t^2}-1\right)\cdot\frac{1+t^2}{2\sqrt{5}t}\cdot\left(-4\sqrt{5}\frac{t}{\left(t^2+1\right)^2}\right)\mbox{d}t}</p>\\<p>

 

Jeśli nie chcesz sprowadzać całki do całki z funkcji wymiernej to

możesz zapisać trójmian kwadratowy pod pierwiastkiem w postaci kanonicznej

 


  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.02.2017 - 22:57

Można tak:

 

\int \frac{x-1}{ \sqrt{-x^2 -4x+1}}dx=\int \frac{x-1}{\sqrt{-\left(x+2\right)^2+5}}dx=[x+2=t]=\int \frac{u-3}{\sqrt{5-u^2}}du=\int \frac{u}{\sqrt{5-u^2}}du-\int \frac{3}{\sqrt{5-u^2}}du

 

Obie już są łatwe

 

\int \frac{u}{\sqrt{5-u^2}}du=-\sqrt{5-u^2}+C

 

\int \frac{3}{\sqrt{5-u^2}}du=3\arcsin \left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right)

 

więc

 

\int \frac{x-1}{ \sqrt{-x^2 -4x+1}}dx=-\sqrt{5-u^2}-3\arcsin \left(\frac{u}{\sqrt{5}}\right)=-\sqrt{5-\left(x+2\right)^2}-3\arcsin \left(\frac{x+2}{\sqrt{5}}\right)+C


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską