Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 34

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.02.2017 - 13:01

\int \frac{x^{5}+x^{4}+3x^{3}-x^{2}-1}{x^{4}-1}dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 kerajs

kerajs

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 15 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.02.2017 - 08:20

=\int(x+1+\frac{3x^3-x^2+x}{(x-1)(x+1)(x^2+1)}dx=\int(x+1+\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}}dx=....


  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 27.02.2017 - 00:19

Można też pobawić się w liczniku go trochę poszatkować

 

\int \frac{x^5+x^4+3x^3-x^2-1}{x^4-1}dx=\int \frac{x^5+3x^3}{x^4-1} dx +\int \frac{x^4-1}{x^4-1}dx-\int \frac{x^2}{x^4-1}dx

 

Całka 2

 

\int \frac{x^4-1}{x^4-1}dx=\int dx=x+C

 

Całka 1

\int \frac{x^5+3x^3}{x^4-1} dx=\int{\frac{x\left( x^4+3x^2\right) }{x^4-1}dx= \[ t=x^2\\ dt=2x dx\]= \frac{1}{2}\int{\frac{t^2-1+3t+1}{t^2-1} dt= \frac{1}{2}=\int dt +\frac{1}{2}\int{ \frac{3t+1}{t^2-1} dt

 

\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\int{ \frac{2t+\left( t+1\right) }{\left( t+1\right)\left( t-1\right)} \mbox{d}t }= \frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\(\ln{\left| t^2-1\right| }+\ln{\left| t-1\right| }\) +C=\frac{1}{2}t+\frac{1}{2}\ln{\left| t^3-t^2-t+1\right| }+C =\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\ln{\left| x^6-x^4-x^2+1 \right| }+C

 

Całka 3

-\int{ \frac{x^2}{x^4-1} \mbox{d}x }\\ -\frac{1}{2}\int{\frac{\left( x^2-1\right)+\left( x^2+1\right) }{\left( x^2-1\right)\left( x^2+1\right)} \mbox{d}x } =-\frac{1}{2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^2+1} }-\frac{1}{2}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x^2-1} } =-\frac{1}{2}arctg{x}-\frac{1}{4}\int{\frac{\left( x+1\right)-\left( x-1\right) }{\left( x+1\right)-\left( x-1\right) } \mbox{d}x }=-\frac{1}{2}arctg{x}-\frac{1}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x-1} }+\frac{1}{4}\int{ \frac{ \mbox{d}x }{x+1} }=-\frac{1}{2} arctg{x}+\frac{1}{4}\ln{\left| \frac{x+1}{x-1} \right| }

 

reazem

 

 \frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}\ln{\left| x^6-x^4-x^2+1 \right| }+x-\frac{1}{2}arctg{x}+\frac{1}{4}\ln{\left| \frac{x+1}{x-1} \right| }+C\\


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską