Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 32

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.02.2017 - 12:57

\int \frac{dx}{x \sqrt{1+x^2} }


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2017 - 13:17


\int \frac{dx}{x \sqrt{1+x^2} }=\[u=x^2\quad \:du=2xdx \]=\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{1}{u\sqrt{u+1}}du=\[=\sqrt{u+1}\quad \:dv=\frac{1}{2v}du\]=\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{2}{v^2-1}dv= \int \:\frac{1}{v^2-1}dv=\int \:\frac{1}{-\left(-v^2+1\right)}dv

 

\int \:\frac{1}{1-v^2}dv=arctgh \left(v\right)

 

=arctgh \left(v\right)+C=-arctgh \left(\sqrt{x^2+1}\right)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.03.2017 - 13:18

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2017 - 13:20

Inne podstawienie x=tg(t)

 

jest dużo szybsze


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.03.2017 - 13:24

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 02.03.2017 - 04:20

Czy ja wiem czy takie szybkie

 

Najszybsze to będzie drugie podstawienie Eulera

 

\sqrt{1+x^2}=xt+1\\</p>\\<p>1+x^2=x^2t^2+2tx+1</p>\\<p>x=xt^2+2t\\</p>\\<p>x-xt^2=2t\\</p>\\<p>x\left(1-t^2\right)=2t\\</p>\\<p>x=\frac{2t}{1-t^2}\\</p>\\<p>xt+1=\frac{2t^2+1-t^2}{1-t^2}=\frac{1+t^2}{1-t^2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2\left(1-t^2\right)-\left(2t\right)\left(-2t\right)}{\left(1-t^2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2+2t^2}{\left(1-t^2\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>2\int{\frac{1-t^2}{2t}\cdot\frac{1-t^2}{1+t^2}\cdot\frac{1+t^2}{\left(1-t^2\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}=\ln{\left|\right|}+C\\</p>\\<p>=\ln|\frac{\sqrt{1+x^2}-1}{x}|+C</p>\\<p>

 

\int{\frac{\mbox{d}x}{x\sqrt{1+x^2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\left(\frac{1}{x\sqrt{1+x^2}}+\frac{1}{x}\right)\mbox{d}x}-\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x\sqrt{1+x^2}}\mbox{d}x}-\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{x\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x^2\sqrt{1+x^2}}\mbox{d}x}-\int{\frac{1}{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{x\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x^2\sqrt{1+x^2}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>t^2=1+x^2\\</p>\\<p>2x\mbox{d}x=2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>x\mbox{d}x=t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{t\left(1+t\right)}{\left(t^2-1\right)t}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{\mbox{d}t}{t-1}}=\ln{\left|t-1\right|}\\</p>\\<p>\int{x\frac{1+\sqrt{1+x^2}}{x^2\sqrt{1+x^2}}\mbox{d}x}=\ln{|\sqrt{x^2+1}-1|}+C</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 02.03.2017 - 04:39

  • 0

#5 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 10.03.2017 - 22:50

Dzięki a tg() to później jak?


  • 0