Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 30

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
4 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.02.2017 - 12:55

\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2017 - 23:51


\int \frac{x}{(x^2+2x+2)^2} dx=\int \frac{x}{\left(\left(x+1\right)^2+1\right)^2}dx=\[u=\left(x+1\right)\]=\int \frac{u-1}{\left(u^2+1\right)^2}du

 

Teraz przez części

 

f=u-1,\:f'=1,\:\:v'=\frac{1}{\left(u^2+1\right)^2},\:\:v=\frac{1}{2}\left(arctg \left(u\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2 arctg \left(u\right)\right)\right)

 

na marginesie

\int \frac{1}{\left(u^2+1\right)^2}du=\[u=\tan \left(v\right)\quad \:du=\frac{1}{\cos ^2\left(v\right)}dv\]=\int \cos ^2\left(v\right)dv=\frac{1}{2}\cdot \int \:1+\cos \left(2v\right)dv


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 01.03.2017 - 00:02

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2017 - 00:07

Inne podejście

 

=\int \frac{x-1}{\left(x^2+1\right)^2}du 

 

I teraz podstawienie x=tg(u)

 

To da już bardzo ładną całkę


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 01.03.2017 - 00:21

Lub

 

\int \frac{x - 1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} d x = \int \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}} - \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x

 

i każdą osobno

 

w pierwszej podstawienie x^2+1=t                    2xdx=dt               xdx=\frac{1}{2}dt

 

\int \left(\frac{x}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}dx=-\frac{1}{2(x^2+1)}

 

Całką - \int \frac{1}{\left(x^{2} + 1\right)^{2}}\right)d x możesz przez części lub chyba prościej podstaw za x=tg(w)   powstanie całka z kosinusa kwadrat


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#5 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.11.2017 - 01:15

\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+2x+2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}(x^2+2x+2)-(a_{1}x+a_{0})(2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\</p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})}{(x^2+2x+2)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+2x+2}\\</p>\\<p></p>\\<p>\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}=\frac{a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)}{(x^2+2x+2)^2}\\</p>\\<p>x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-(2a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{0}x+2a_{0})+(b_{1}x+b_{0})(x^2+2x+2)\\</p>\\<p>x=a_{1}x^2+2a_{1}x+2a_{1}-2a_{1}x^2-2a_{1}x-2a_{0}x-2a_{0}+b_{1}x^3+2b_{1}x^2+2b_{1}x+b_{0}x^2+2b_{0}x+2b_{0}\\</p>\\<p>x=b_{1}x^3+(2b_{1}+b_{0}-a_{1})x^2+(2b_{1}+2b_{0}-2a_{0})x+2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{1}+b_{0}-a_{1}=0\\2b_{1}+2b_{0}-2a_{0}=1\\2b_{0}+2a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}-2a_{0}=1\\4a_{1}-2a_{0}=0 \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{1}\\2a_{1}=-1\\a_{0}=2a_{1} \end{cases}\\<br>\\\begin{cases}b_{1}=0\\2b_{0}=-1\\2a_{1}=-1\\a_{0}=-1 \end{cases}\\<br>\\\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\int{\frac{\mbox{d}x}{(x+1)^2+1}}\\</p>\\<p>\int{\frac{x}{\left(x^2+2x+2\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{2}\frac{x+2}{x^2+2x+2}-\frac{1}{2}\arctan{(x+1)}+C\\<br>\\

Można jeszcze bawić się całkowaniem przez części

 


  • 1