Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 29

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 19.02.2017 - 12:54

\int \frac{x^{3}dx}{ (x^2+x+5^{2})^{2} }


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 28.02.2017 - 23:50


\int \frac{x^{3}dx}{ (x^2+x+5^{2})^{2} }=\int \frac{x^3}{((x+\frac{1}{2})^2+\frac{99}{4})^2}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 05.03.2017 - 06:11

Proponuję rozbić na dwie całki  w jednej licznik skróci się z mianownikiem a drugą można będzie policzyć całkując przez części

 

\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\int{\frac{x^2+x+25}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}+\frac{1}{198}\int{\left(99x^2-49x+25\right)\cdot\frac{2x+1}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\int{\frac{1}{\left(x^2+x+25\right)}\mbox{d}x}+\frac{1}{198}\int{\left(99x^2-49x+25\right)\cdot\frac{2x+1}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>

 

Najpierw całkujemy przez części a później dodajemy całki

 

Przydatne będzie też podstawienie x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{11}t

 

Jak znalazłem ten rozkład ?

 

Podzieliłem licznik przez pochodną trójmianu kwadratowego z mianownika

Otrzymałem  resztę która była stałą, do tej stałej dodałem i odjąłem taki składnik aby otrzymać postać kanoniczną trójmianu kwadratowego z mianownika

 

\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\int{\frac{x^2+x+25}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}+\frac{1}{198}\int{\left(99x^2-49x+25\right)\cdot\frac{2x+1}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\int{\frac{1}{\left(x^2+x+25\right)}\mbox{d}x}+\frac{1}{198}\int{\left(99x^2-49x+25\right)\cdot\frac{2x+1}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\int{\frac{1}{\left(x^2+x+25\right)}\mbox{d}x}-\frac{1}{198}\frac{99x^2-49x+25}{x^2+x+25}+\frac{1}{198}\int{\frac{198x-49}{x^2+x+25}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\frac{99x^2-49x+25}{x^2+x+25}+\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{x^2+x+25}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{x^2+x+25}\mbox{d}x}=\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{11}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{3}{2}\sqrt{11}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{66}\int{\frac{99\left(\frac{3}{2}\sqrt{11}t-\frac{1}{2}\right)-25}{\frac{99}{4}t^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{66}\int{\frac{\frac{297}{2}\sqrt{11}t-\frac{149}{2}}{\frac{99}{4}t^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{4 \cdot 33}\cdot\frac{4}{99}\int{\frac{297\sqrt{11}t-149}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{297\cdot 11}{3267}\int{\frac{t}{t^2+1}\mbox{d}t}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\int{\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\int{\frac{t}{t^2+1}\mbox{d}t}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\int{\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\ln{\left|t^2+1\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(t\right)}+C\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+x+25\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(\frac{\sqrt{11}}{33}\left(2x+1\right)\right)}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=-\frac{1}{198}\frac{99x^2-49x+25}{x^2+x+25}+\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+x+25\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(\frac{\sqrt{11}}{33}\left(2x+1\right)\right)}+C\\</p>\\<p>

 

 

Wynik można jeszcze uprościć dzieląc licznik przez mianownik

 

 

Można też liczyć sposobem podanym przez Ostrogradskiego

 

\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{a_{1}x+a_{0}}{x^2+x+25}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+x+25}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}=\frac{a_{1}\left(x^2+x+25\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)}{\left(x^2+x+25\right)^2}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+x+25}\\</p>\\<p>\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}=\frac{a_{1}\left(x^2+x+25\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^2+x+25\right)}{\left(x^2+x+25\right)^2}\\</p>\\<p>x^3=a_{1}\left(x^2+x+25\right)-\left(a_{1}x+a_{0}\right)\left(2x+1\right)+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^2+x+25\right)\\</p>\\<p>x^3=a_{1}x^2+a_{1}x+25a_{1}-2a_{1}x^2-a_{1}x-2a_{0}x-a_{0}+b_{1}x^3+b_{1}x^2+25b_{1}x+b_{0}x^2+b_{0}x+25b_{0}\\</p>\\<p>x^3=b_{1}x^3+\left(b_{1}+b_{0}-a_{1}\right)x^2+\left(25b_{1}+b_{0}-2a_{0}\right)x+25b_{0}+25a_{1}-a_{0}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=1\\b_{0}=a_{1}-1\\24+a_{1}=2a_{0}\\100a_{1}-50-24-a_{1}=0\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=1\\\b_{0}=a_{1}-1\\24+a_{1}=2a_{0}\\99a_{1}=74\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=1\\99b_{0}=-25\\99a_{0}=1225\\99a_{1}=74\end{cases}\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{99}\frac{74x+1225}{x^2+x+25}+\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{x^2+x+25}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{x^2+x+25}\mbox{d}x}=\frac{1}{99}\int{\frac{99x-25}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>x+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}\sqrt{11}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{3}{2}\sqrt{11}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{66}\int{\frac{99\left(\frac{3}{2}\sqrt{11}t-\frac{1}{2}\right)-25}{\frac{99}{4}t^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{66}\int{\frac{\frac{297}{2}\sqrt{11}t-\frac{149}{2}}{\frac{99}{4}t^2+\frac{99}{4}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{\sqrt{11}}{4 \cdot 33}\cdot\frac{4}{99}\int{\frac{297\sqrt{11}t-149}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{297\cdot 11}{3267}\int{\frac{t}{t^2+1}\mbox{d}t}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\int{\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\int{\frac{t}{t^2+1}\mbox{d}t}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\int{\frac{1}{t^2+1}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{1}{2}\ln{\left|t^2+1\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(t\right)}+C\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+x+25\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(\frac{\sqrt{11}}{33}\left(2x+1\right)\right)}+C\\</p>\\<p>\int{\frac{x^3}{\left(x^2+x+25\right)^2}\mbox{d}x}=\frac{1}{99}\frac{74x+1225}{x^2+x+25}+\frac{1}{2}\ln{\left|x^2+x+25\right|}-\frac{149\sqrt{11}}{3267}\arctan{\left(\frac{\sqrt{11}}{33}\left(2x+1\right)\right)}+C\\</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 05.03.2017 - 15:35

  • 2

#4 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 10.03.2017 - 22:49

A jak to będzie gdyby zastosować podejście Jarkazulusa?


  • 0