Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 26

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 200 postów
10
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:22

\int \frac{ \mbox{d}x }{x^{2}(x+\sqrt{x^{2}+1})}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.02.2017 - 03:16

\int{\frac{\mbox{d}x}{x^2\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}}\\ \sqrt{1+x^2}=t-x\\ 1+x^2=t^2-2tx+x^2\\ 1=t^2-2tx\\ 2tx=t^2-1\\ x=\frac{t^2-1}{2t}\\ \mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2\left(t^2-1\right)}{4t^2}\mbox{d}t\\ \mbox{d}x=\frac{2t^2+2}{4t^2}\mbox{d}t\\ \mbox{d}x=\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t\\ \int{\frac{4t^2}{\left(t^2-1\right)^2}\cdot\frac{1}{t}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}\mbox{d}t} =\int{\frac{2t^2+2}{t\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t} =\int{\frac{2t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}+\int{\frac{2}{t\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t} =\int{\frac{2t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}+\int{\frac{2t^2-2\left(t^2-1\right)}{t\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}=\int{\frac{4t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}-\int{\frac{2}{t\left(t^2-1\right)}\mbox{d}t} \\=\int{\frac{4t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}+\int{\frac{2\left(t^2-1\right)-2t^2}{t\left(t^2-1\right)}\mbox{d}t} =\int{\frac{4t}{\left(t^2-1\right)^2}\mbox{d}t}+2\int{\frac{\mbox{d}t}{t}}-\int{\frac{2t}{t^2-1}\mbox{d}t}=-\frac{2}{t^2-1}+2\ln{\left|t\right|}-\ln{\left|t^2-1\right|}+C=-\frac{2}{t^2-1}+\ln{\left|\frac{t^2}{t^2-1}\right|}+C \\=-\frac{1}{x\left(x+\sqrt{1+x^2}\right)}+\ln{\left|\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x}\right|}+C


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.02.2017 - 03:20

Albo podstawienie \sqrt{1+x^{2}}=t-x

 

\int \frac{ 2(t^{2}+1)}{t(t-1)^{2}(t+1)^{2}} \mbox{d}t\\ \int{\frac{\left(t-1\right)^2+\left(t+1\right)^2}{t\left(t-1\right)^2\left(t+1\right)^2}\mbox{d}t}\\ \int{\frac{ \mbox{d}t}{t\left(t+1\right)^2}}+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t\left(t-1\right)^2}}\\ 1=\left( t+1\right)-t\\ 1=\left( t+1\right)^2-2t\left( t+1\right)+t^2\\ 1=t-\left(t-1 \right)\\ 1=t^2-2t\left(t-1 \right)+\left(t-1 \right)^2\\ \int{ \frac{\left( t+1\right)^2-2t\left( t+1\right)+t^2}{t\left(t+1\right)^2} \mbox{d}t }+\int{\frac{t^2-2t\left(t-1 \right)+\left(t-1 \right)^2}{t\left(t-1 \right)^2 } \mbox{d}t}\\ \int{ \frac{ \mbox{d}t }{t} }-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t+1}}+\int{\frac{t}{\left(t+1\right)^2} \mbox{d}t}+\int{\frac{t}{\left( t-1\right)^2 } \mbox{d}t}-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t-1}}+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t}}\\ \int{ \frac{ \mbox{d}t }{t} }-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t+1}}+\int{\frac{t+1-1}{\left(t+1\right)^2} \mbox{d}t}+\int{\frac{t-1+1}{\left( t-1\right)^2 } \mbox{d}t}-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t-1}}+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t}}\\ \int{ \frac{ \mbox{d}t }{t} }-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t+1}}+\int{ \frac{ \mbox{d}t}{t+1} }-\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(t+1\right)^2}+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t-1}}+\int{\frac{\mbox{d}t}{\left( t-1\right)^2 } }-2\int{\frac{ \mbox{d}t}{t-1}}+\int{\frac{ \mbox{d}t}{t}}\\


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską