Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 24

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:19

\int \frac{ \mbox{d}x }{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x-1}}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.02.2017 - 19:37

*
Najwyższa ocena

\int \frac{ \mbox{d}x }{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x-1}}

 

Podstawienie

 

x+ \frac{1}{2}= \frac{ \sqrt{5} }{2\cos(t)}                    dx= \frac{ \sqrt{5}\sin(t) }{2\cos^{2}(t)}dt                             \sqrt{x^{2}+x-1}= \frac{ \sqrt{5} }{2}tg(t)

 

x^2+x+1=\frac{5}{4\cos ^2\left(t\right)}+\frac{3}{4}

 

\int \frac{1}{\frac{5}{4\cos ^2\left(t\right)}+\frac{3}{4}}\cdot \frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}\tan \left(t\right)}\cdot \frac{\sqrt{5}\sin \left(t\right)}{2\cos ^2\left(t\right)}dt=\int \frac{4\sin \left(t\right)}{\tan \left(t\right)\left(5+3\cos ^2\left(t\right)\right)}dt

 

\int \frac{4\sin \left(t\right)}{\tan \left(t\right)\left(5+3\cos ^2\left(t\right)\right)}dt=\int \frac{4\sin \left(t\right)}{\left(5+3\cos ^2\left(t\right)\right)}\cdot \frac{cos(t)}{sin(t)}dt=\int \frac{4cos(t)}{5+3cos^2(t)}=\int \frac{4cos(t)}{5+3(1-sin^2(t))}=4\int \frac{cos(t)}{8-3\cdot sin^2(t)}

 

u=sin(t)

 

i sprowadzasz do całki postaci \frac{1}{1-v^2}


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.02.2017 - 23:55

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.02.2017 - 19:52

\int \frac{ dx }{(x^{2}+x+1)\sqrt{x^{2}+x-1}}\\<br><br>\\t=\frac{x+\frac{1}{2}}{ \sqrt{x^2+x-1} }\\<br><br>\\dt=\frac{ \sqrt{x^2+x-1}- \frac{\( x+\frac{1}{2}\)^2 }{ \sqrt{x^2+x-1} } }{\( x^2+x-1\) } dx \\<br><br>\\dx = \frac{ \frac{\( x+\frac{1}{2}\)^2-\frac{5}{4}-\( x+\frac{1}{2}\)^2 }{ \sqrt{x^2+x-1} } }{x^2+x-1} dt=-\frac{5}{4\left(x^2+x-1\right)^{\frac{3}{2}}} dt\\<br><br>\\dx =-\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{\( x^2+x-1\) \sqrt{x^2+x-1} } dt\\

                                                                                  t=\frac{x+\frac{1}{2}}{ \sqrt{x^2+x-1} }\\<br><br>\\t^2=\frac{\( x+\frac{1}{2}\)^2-\frac{5}{4}+\frac{5}{4} }{x^2+x-1}\\<br><br>\\t^2=\frac{x^2+x-1+\frac{5}{4}}{x^2+x-1}\\<br><br>\\t^2=1+\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{x^2+x-1}<br><br>\\t^2-1=\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{x^2+x-1}\\<br><br>\\\frac{4}{5}\( t^2-1\)=\frac{1}{x^2+x-1}

\frac{8\sqrt{5}}{25}\( t^2-1\) \sqrt{t^2-1}=\frac{1}{\( x^2+x-1\) \sqrt{x^2+x-1} } \\<br><br>\\dt=-\frac{2\sqrt{5}}{5}\( t^2-1\) \sqrt{t^2-1} dx<br><br>\\dx =-\frac{\sqrt{5}}{2}\frac{ dt}{\( t^2-1\) \sqrt{t^2-1}}<br><br>\\t^2-1=\frac{5}{4} \cdot \frac{1}{x^2+x-1}<br><br>\\\frac{4}{5}\( t^2-1\) = \frac{1}{x^2+x-1}\\ \frac{5}{4}\frac{1}{t^2-1}=x^2+x-1\\ \frac{5}{4}\frac{1}{t^2-1}+2=x^2+x+1\\ \frac{5+8t^2-8}{4\(t^2-1\)}=x^2+x+1\\ \frac{8t^2-3}{4\(t^2-1\)}=x^2+x+1

 

 -4 \int{\frac{t^2-1}{8t^2-3} \cdot \sqrt{t^2-1} \cdot \frac{ dt}{\( t^2-1\) \sqrt{t^2-1}}} =-4\int{\frac{ dt}{8t^2-3}}\\

 

-4\int \frac{ dt}{8t^2-3}=-4\int \frac{dt}{-3\(1-\frac{8t^2}{3}\)}=\frac{4}{3}\int \frac{dt}{1-\frac{8t^2}{3}}

 

u=2\sqrt{\frac{2}{3}}t                       du=2\sqrt{\frac{2}{3}}dt

 

\frac{4}{3}\int \frac{dt}{1-\frac{8t^2}{3}}=\frac{4}{3}\cdot \frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\int\frac{du}{1-u^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\int\frac{du}{1-u^2}=\sqrt{\frac{2}{3}}\int\frac{\frac{1}{2}}{1-u}+\frac{\frac{1}{2}}{1+u}du=\frac{ln|1+u|-ln|1-u|}{\sqrt{6}}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.02.2017 - 23:37

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 03.03.2017 - 08:31

\int{\frac{\mbox{d}x}{\left(x^2+x+1\right)\sqrt{x^2+x-1}}}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2+x-1}=t-x\\</p>\\<p>x^2+x-1=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>x-1=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx+x=t^2+1\\</p>\\<p>x\left(2t+1\right)=t^2+1\\</p>\\<p>x=\frac{t^2+1}{2t+1}\\</p>\\<p>t-x=\frac{2t^2+t-t^2-1}{2t+1}=\frac{t^2+t-1}{2t+1}\\</p>\\<p>x^2+x+1=\frac{t^4+2t^2+1+2t^3+t^2+2t+1+4t^2+4t+1}{\left(2t+1\right)^2}\\<br>\\x^2+x+1=\frac{t^4+2t^3+7t^2+6t+3}{\left(2t+1\right)^2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\left(2t+1\right)-2\left(t^2+1\right)}{\left(2t+1\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t^2+2t-2}{\left(2t+1\right)^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(2t+1\right)^2}{t^4+2t^3+7t^2+6t+3}\cdot\frac{2t+1}{t^2+t-1}\cdot\frac{2\left(t^2+t-1\right)}{\left(2t+1\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\frac{4t+2}{t^4+2t^3+7t^2+6t+3}\mbox{d}t}=\int{\frac{4t+2}{\left(t^2+t+3-\sqrt{6}\right)\left(t^2+t+3+\sqrt{6}\right)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\sqrt{6}}{6}\left(\frac{2t+1}{t^2+t+3-\sqrt{6}}-\left(\frac{2t+1}{t^2+t+3-\sqrt{6}}\right)\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{\sqrt{6}}{6}\int{\frac{2t+1}{t^2+t+3-\sqrt{6}}\mbox{d}t}-\frac{\sqrt{6}}{6}\int{\frac{2t+1}{t^2+t+3+\sqrt{6}}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>=\frac{\sqrt{6}}{6}\ln{\left|\frac{t^2+t+3-\sqrt{6}}{t^2+t+3+\sqrt{6}}\right|}+C</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 03.03.2017 - 08:54

  • 1