Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 23, Ostrogradskiego można

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:18

\int \frac{x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.02.2017 - 00:08

Sposobów jest kilka np.

 

\int \frac{x-\sqrt{x^{2}+3x+2}}{x+\sqrt{x^{2}+3x+2}} dx \\ \sqrt{x^2+3x+2}=t-x\\ x-\sqrt{x^2+3x+2}=x-\( t-x\) \\ x-\sqrt{x^2+3x+2}=2x-t\\ x+\sqrt{x^2+3x+2}=t\\ \sqrt{x^2+3x+2}=t-x\\ x^2+3x+2=t^2-2tx+x^2\\ 3x+2=t^2-2tx\\ 2tx+3x=t^2-2\\ x\( 2t+3\) =t^2-2\\ x=\frac{t^2-2}{2t+3}\\ dx =\frac{2t\( 2t+3\)-2\( t^2-2\) }{\( 2t+3\)^2 } dt\\ dx =\frac{2t^2+6t+4}{\( 2t+3\)^2 } dt\\ 2x-t=\frac{2t^2-4-2t^2-3t}{\( 2t+3\)}dt\\ 2x-t=-\frac{3t+4}{\( 2t+3\)}\\ -\int{\frac{3t+4}{\( 2t+3\)} \cdot \frac{1}{t} \cdot \frac{2t^2+6t+4}{\( 2t+3\)^2 } dt }\\ =-\int{\frac{\( 3t+4\)\( 2t^2+6t+4\) }{t\( 2t+3\)^3 } dt}\\ =-\int{ \frac{6t^3+18t^2+12t+8t^2+24t+16}{t\( 2t+3\)^3} dt }=-\int{\frac{6t^3+26t^2+36t+16}{t\( 2t+3\)^3} dt}=-\( \frac{16}{27} \int{ \frac{ dt }{t} }+\frac{17}{54}\int{ \frac{ dt}{2t+3 }+\frac{4}{9}\int{ \frac{ dt }{\( 2t+3\)^2 } } }-\frac{1}{6}\int{ \frac{ dt }{\( 2t+3\)^3 } }\)


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3411 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 23.02.2017 - 00:51

\frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}=\frac{\left(x-\sqrt{x^2+3x+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+3x+2}\right)}{\left(x+\sqrt{x^2+3x+2}\right)\left(x-\sqrt{x^2+3x+2}\right)}=\frac{\left(x-\sqrt{x^2+3x+2}\right)^2}{-3x-2}=\frac{2x^2+3x-2x\sqrt{x^2+3x+2}+2}{-3x-2}

 

\int \frac{x-\sqrt{x^2+3x+2}}{x+\sqrt{x^2+3x+2}}dx=\int \frac{2x^2+3x-2x\sqrt{x^2+3x+2}+2}{-3x-2}dx=\int \frac{2x^2+3x+2}{-3x-2}-\int \frac{2x\sqrt{x^2+3x+2}}{-3x-2}

 

Z pierwszą dasz radę a co do drugiej

 

x=\frac{t^{2}-2}{1-t^{2}}                    dx=\frac{2t\left(1-t^2\right)-\left(-2t\right)\left(t^2-2\right)}{\left(1-t^2\right)^2}dt=-\frac{2t}{\left(1-t^2\right)^2}dt               t=\sqrt{\frac{x+2}{x+1}}

 

\sqrt{x^{2}+3x+2}=t(x+1)=t\cdot \(\frac{t^{2}-2}{1-t^{2}}+1\)=t\cdot \(-\frac{1}{1-t^2}\) = \frac{-t}{1-t^{2}}  

 

3x+2=3\cdot \frac{t^{2}-2}{1-t^{2}}+2=\frac{4-t^2}{t^2-1}

 

\int \frac{2x\sqrt{x^2+3x+2}}{-(3x+2)}=\int 2\cdot \frac{t^{2}-2}{1-t^{2}}\cdot \frac{-t}{1-t^{2}}\cdot \frac{1-t^2}{4-t^2}\cdot \frac{-2t}{\left(1-t^2\right)^2}dt=\int \frac{4t^2\left(t^2-2\right)}{\left(4-t^2\right)\left(1-t^2\right)^3}dt

 

Teraz można metodą Ostrogradskiego albo przez rozkład na ułamki proste ale szybciej Ostrogradskim

 

 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 23.02.2017 - 01:25

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.04.2017 - 19:22

Jeśli chodzi o zalety metody Ostrogradskiego to nie wymaga ona rozkładu mianownika na czynniki

co pozwoli zredukować jego stopień

Aby uzyskać mianowniki wystarczy policzyć NWD\left(M(x),M'(x)\right)

algorytmem kolejnych dzieleń

Jeżeli mamy podany rozkład mianownika na czynniki to zalety stosowania metody Ostrogradskiego ujawniają się gdy

mianownik ma wielokrotne pierwiastki zespolone


  • 1