Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 22

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 200 postów
10
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:17

\int \frac{ \mbox{d}x }{x^{2}(x+\sqrt{x^{2}+1})}


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2017 - 18:24

\int{\frac{dx}{x^2\(x+\sqrt{1+x^2}\)}}\\ \sqrt{1+x^2}=t-x\\ 1+x^2=t^2-2tx+x^2\\ 1=t^2-2tx\\ 2tx=t^2-1\\ x=\frac{t^2-1}{2t}\\ dx=\frac{2t\cdot 2t-2\(t^2-1\)}{4t^2}dt\\ dx=\frac{2t^2+2}{4t^2}dt\\ dx=\frac{t^2+1}{2t^2}dt\\ \int{\frac{4t^2}{\(t^2-1\)^2}\cdot\frac{1}{t}\cdot\frac{t^2+1}{2t^2}dt} =\int{\frac{2t^2+2}{t\(t^2-1\)^2}dt} =\int{\frac{2t}{\(t^2-1\)^2}dt}+\int{\frac{2}{t\(t^2-1\)^2}dt} =\int{\frac{2t}{\(t^2-1\)^2}dt}+\int{\frac{2t^2-2\(t^2-1\)}{t\(t^2-1\)^2}dt} =\int{\frac{4t}{\(t^2-1\)^2}dt}-\int{\frac{2}{t\(t^2-1\)}dt}\\ =\int{\frac{4t}{\(t^2-1\)^2}dt}+\int{\frac{2\(t^2-1\)-2t^2}{t\(t^2-1\)}dt} =\int{\frac{4t}{\(t^2-1\)^2}dt}+2\int{\frac{dt}{t}}-\int{\frac{2t}{t^2-1}dt} =-\frac{2}{t^2-1}+2\ln{\left|t\right|}-\ln{\left|t^2-1\right|}+C\\ =-\frac{2}{t^2-1}+\ln{\left|\frac{t^2}{t^2-1}\right|}+C =-\frac{1}{x\(x+\sqrt{1+x^2}\)}+\ln{\left|\frac{x+\sqrt{1+x^2}}{x}\right|}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.02.2017 - 18:30

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2017 - 18:33

Końcowe obliczenia można tak lub też wykorzystując wzór Ostrogradskiego

 

\int{\frac{2t^2+2}{t\(t^2-1\)^2}dt}=\int \frac{ 2(t^{2}+1)}{t(t-1)^{2}(t+1)^{2}} dt\\ \int{\frac{\(t-1\)^2+\(t+1\)^2}{t\(t-1\)^2\(t+1\)^2}dt}\\ \int{\frac{ dt}{t\(t+1\)^2}}+\int{\frac{ dt}{t\(t-1\)^2}}\\ 1=\( t+1\)-t\\ 1=\( t+1\)^2-2t\( t+1\)+t^2\\ 1=t-\(t-1 \)\\ 1=t^2-2t\(t-1 \)+\(t-1 \)^2\\ \int{ \frac{\( t+1\)^2-2t\( t+1\)+t^2}{t\(t+1\)^2} dt }+\int{\frac{t^2-2t\(t-1 \)+\(t-1 \)^2}{t\(t-1 \)^2 } dt}\\ \int{ \frac{ dt }{t} }-2\int{\frac{ dt}{t+1}}+\int{\frac{t}{\(t+1\)^2} dt}+\int{\frac{t}{\( t-1\)^2 } dt}-2\int{\frac{ dt}{t-1}}+\int{\frac{ dt}{t}}\\ \int{ \frac{ dt }{t} }-2\int{\frac{ dt}{t+1}}+\int{\frac{t+1-1}{\(t+1\)^2} dt}+\int{\frac{t-1+1}{\( t-1\)^2 } dt}-2\int{\frac{ dt}{t-1}}+\int{\frac{ dt}{t}}\\ \int{ \frac{ dt }{t} }-2\int{\frac{ dt}{t+1}}+\int{ \frac{ dt}{t+1} }-\int{\frac{dt}{\(t+1\)^2}+\int{\frac{ dt}{t-1}}+\int{\frac{dt}{\( t-1\)^2 } }-2\int{\frac{ dt}{t-1}}+\int{\frac{ dt}{t}}


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską