Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 20

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 200 postów
10
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:11

\int\frac{sinx dx}{cosx \sqrt{1 +sin ^{2}x } }


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2017 - 13:47

\int\frac{sinx dx}{cosx \sqrt{1 +sin ^{2}x } }=\int \frac{sin(x)cos(x)dx}{cos^{2} (x)\sqrt{1+sin^2(x)} }

 

sin(x)=t                cos(x)dx=dt

 

\int \frac{t\cdot dt}{(1-t ^{2}) \sqrt{1+t ^{2} } }=\[u=\left(1-t^2\right)\quad \:du=-2tdt\]=-\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{1}{\sqrt{2-u}u}du=\[v=\sqrt{2-u}\quad \:dv=-\frac{1}{2v}du\]=-\frac{1}{2}\cdot \int \:-\frac{2}{2-v^2}dv=\[v=\sqrt{2}w\quad \:dv=\sqrt{2}dw\]=\\-\frac{1}{2}\left(-2\sqrt{2}\cdot \int \:\frac{1}{2-2w^2}dw\right)=-\frac{1}{2}\left(-2\sqrt{2}\cdot \int \:\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{-w^2+1}dw\right)=-\frac{1}{2}\left(-2\sqrt{2}\frac{1}{2}\arctanh \left(w\right)\right)

 

w=\frac{1}{\sqrt{2}}v,\:v=\sqrt{2-u},\:u=\left(1-t^2\right)

 

=\frac{arctgh \left(\frac{\sqrt{t^2+1}}{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{2}}+C=\frac{arctgh \left(\frac{\sqrt{sin^2(x)+1}}{\sqrt{2}}\right)}{\sqrt{2}}+C

 

 


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską