Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 19

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 21:08

\int \frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6} dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 19.02.2017 - 23:34

\sqrt{4-x^2}=\left(2+x\right)t\\</p>\\<p>\left(2+x\right)\left(2-x\right)=\left(2+x\right)^2t^2</p>\\<p>2-x=\left(2+x\right)t^2</p>\\<p>2-x=2t^2+xt^2</p>\\<p>x+xt^2=2-2t^2</p>\\<p>x\left(1+t^2\right)=2-2t^2</p>\\<p>x=\frac{2-2t^2}{1+t^2}=\frac{-2-2t^2+4}{1+t^2}=-2+\frac{4}{1+t^2}\\</p>\\<p>\left(2+x\right)t=\frac{4t}{1+t^2}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=-4\left(1+t^2\right)^{-2}\cdot 2t\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=-\frac{8t}{\left(1+t^2\right)^{2}}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{\left(1+t^2\right)^6}{64\left(1-t^2\right)^6}\cdot\frac{64t^3}{\left(1+t^2\right)^3}\cdot\left(-\frac{8t}{\left(1+t^2\right)^{2}}\right)\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\int{\left(-4t^3-4t^5\right)\frac{2t}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{4}{5}\int{\frac{3t^2+5t^4}{\left(1-t^2\right)^5}\mbox{d}t}</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{2}{5}\int{\left(3t+5t^3\right)\frac{2t}{\left(1-t^2\right)^5}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{1}{10}\frac{3t+5t^3}{\left(1-t^2\right)^4}-\frac{3}{10}\int{\frac{1+5t^2}{\left(1-t^2\right)^4}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{1}{10}\frac{3t+5t^3}{\left(1-t^2\right)^4}-\frac{3}{10}\int{\frac{1-t^2+6t^2}{\left(1-t^2\right)^4}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{1}{10}\frac{3t+5t^3}{\left(1-t^2\right)^4}-\frac{3}{10}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(1-t^2\right)^3}\mbox{d}t}-\frac{9}{10}\int{t\frac{2t}{\left(1-t^2\right)^4}\mbox{d}t}\\</p>\\<p></p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{1}{10}\frac{3t+5t^3}{\left(1-t^2\right)^4}-\frac{3}{10}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(1-t^2\right)^3}\mbox{d}t}-\frac{3}{10}\frac{t}{\left(1-t^2\right)^3}+\frac{3}{10}\int{\frac{\mbox{d}t}{\left(1-t^2\right)^3}}\\</p>\\<p>-8\int{\frac{t^4\left(1+t^2\right)}{\left(1-t^2\right)^6}\mbox{d}t}=-\frac{4}{5}\frac{t^3+t^5}{\left(1-t^2\right)^5}+\frac{1}{10}\frac{3t+5t^3}{\left(1-t^2\right)^4}-\frac{3}{10}\frac{t}{\left(1-t^2\right)^3}\\<br>\\


  • 1

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.02.2017 - 08:24

*
Najwyższa ocena

\int \frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6}

 

przez części

 

u=\left(4-x^2\right)^{\frac{3}{2}}                       u'=-3x\sqrt{4-x^2}                                 v'=\frac{1}{x^6}                            v=-\frac{1}{5x^5}

 

=\left(4-x^2\right)^{\frac{3}{2}}\left(-\frac{1}{5x^5}\right)-\int \left(-3x\sqrt{4-x^2}\right)\left(-\frac{1}{5x^5}\right)dx=-\frac{\left(4-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{5x^5}-\int \frac{3\sqrt{4-x^2}}{5x^4}dx

 

znowu przez części

 

u=\sqrt{4-x^2}                       u'=-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}                               v'=\frac{1}{x^4}                         v=-\frac{1}{3x^3}

 

\int \frac{3\sqrt{4-x^2}}{5x^4}dx=\frac{3}{5}\left(\sqrt{4-x^2}\left(-\frac{1}{3x^3}\right)-\int \left(-\frac{x}{\sqrt{4-x^2}}\right)\left(-\frac{1}{3x^3}\right)dx\right)=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}-\frac{1}{3}\cdot \int \:\frac{1}{x^2\sqrt{4-x^2}}dx\right)

 

x=2 sin(u) \\dx=2 cos (u)du

 

=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}-\frac{1}{6}\cdot \int \:\frac{\cos \left(u\right)}{\sin ^2\left(u\right)\sqrt{4-4\sin ^2\left(u\right)}}du\right)=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}-\frac{1}{6}\cdot \int \:\frac{\cos \left(u\right)}{\sin ^2\left(u\right)2\sqrt{1-\sin ^2\left(u\right)}}du\right)=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}-\frac{1}{6}\cdot \int \:\frac{\cos \left(u\right)}{2\sin ^2\left(u\right)\cos \left(u\right)}du\right)

 

=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}-\frac{1}{12}\cdot \int \:\frac{1}{\sin ^2\left(u\right)}du\right)=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}+\frac{1}{12}\cdot ctg(u)\right)+C=\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}+\frac{1}{12}ctg \left(arcsin \left(\frac{1}{2}x\right)\right)\right)+C

 

ctg(arcsin(x))=\frac{sqrt{1-x^2}}{x}

 

\frac{3}{5}\left(-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}+\frac{1}{12}ctg \left(arcsin \left(\frac{1}{2}x\right)\right)\right)+C=\frac{3}{5}\left(\frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{6x}-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}\right)+C

 

Czyli w całosci

 

\int \frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6}=-\frac{\left(4-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{5x^5}-\frac{3}{5}\left(\frac{\sqrt{1-\frac{x^2}{4}}}{6x}-\frac{\sqrt{4-x^2}}{3x^3}\right)+C


  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3364 postów
3038
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.02.2017 - 08:34

*
Najwyższa ocena

Można jeszcze podobnie z podstawieniem

\int \frac{\sqrt{(4-x^2)^3}}{x^6} dx\\ \sqrt{4-x^2}=xt-2\\ 4-x^2=x^2t^2-4xt+4\\ -x^2=x^2t^2-4xt\\ -x=xt^2-4t\\ 4t=x+xt^2\\ x\( 1+t^2\)=4t\\ x=\frac{4t}{1+t^2} \\ xt-2=\frac{4t^2-2-2t^2}{\( 1+t^2\) }\\ xt-2=\frac{2\( t^2-1\) }{\( t^2+1\) }\\ \mbox{d}x =\frac{4\( t^2+1\)-2t \cdot 4t }{\( t^2+1\)^2 } \mbox{d}t\\ \mbox{d}x =\frac{-4\( t^2-1\) }{\( t^2+1\)^2 } \mbox{d}t

 

\int \frac{8\( t^2-1\)^3 }{\( t^2+1\)^3 } \cdot \frac{\( 1+t^2\)^6 }{4096t^6} \cdot \frac{\( -4\) \( t^2-1\) }{\( t^2+1\)^2} dt

 

-\frac{1}{128}\int{\frac{\( 1+t^2\)\( t^2-1\)^4 }{t^6} dt

 

a teraz przez części mozna

 

u=\frac{\left(1+t^2\right)\left(t^2-1\right)^4}{t^6}               u'=\frac{2\left(2t^{10}+6t^2-3t^8-2t^4-3\right)}{t^7}                           v'=1              v=t

 

=\frac{\left(1+t^2\right)\left(t^2-1\right)^4}{t^6}t-\int \frac{2\left(2t^{10}+6t^2-3t^8-2t^4-3\right)}{t^7}tdt=\frac{\left(t^2-1\right)^4\left(t^2+1\right)}{t^5}-\int \frac{2\left(2t^{10}-3t^8-2t^4+6t^2-3\right)}{t^6}dt

 

\int \frac{2\left(2t^{10}-3t^8-2t^4+6t^2-3\right)}{t^6}dt=2\left(\int \frac{2t^{10}}{t^6}dt-\int \frac{3t^8}{t^6}dt-\int \frac{2t^4}{t^6}dt+\int \frac{6t^2}{t^6}dt-\int \frac{3}{t^6}dt\right)=2\left(\frac{2t^5}{5}+\frac{3}{5t^5}-t^3-\frac{2}{t^3}+\frac{2}{t}\right)+C

 

\int{\frac{\( 1+t^2\)\( t^2-1\)^4 }{t^6} dt=\frac{\left(t^2-1\right)^4\left(t^2+1\right)}{t^5}-2\left(\frac{2t^5}{5}+\frac{3}{5t^5}-t^3-\frac{2}{t^3}+\frac{2}{t}\right)+C

 

tyle, że teraz trzeba pobawić się z t


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.02.2017 - 08:54

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską