Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całaka 14

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 20:47

\int \sqrt{1-x^{2}} \arcsin(x) dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3365 postów
3039
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 22.02.2017 - 10:02


\int \sqrt{1-x^{2}} \arcsin(x) dx

 

Przez części

 

u=\arcsin \left(x\right),\:u'=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}},\:\:v'=\sqrt{1-x^2},\:\:v=\frac{1}{2}\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)

 

=\frac{1}{2}\arcsin \left(x\right)\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)-\int \frac{\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)}{2\sqrt{1-x^2}}dx

 

\int \frac{\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)}{2\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{\arcsin \left(x\right)+2\cos \left(\arcsin \left(x\right)\right)\sin \left(\arcsin \left(x\right)\right)\frac{1}{2}}{\sqrt{1-x^2}}dx\\=\frac{1}{2}\cdot \int \:\frac{\sqrt{1-x^2}x+\arcsin \left(x\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx=\frac{1}{2}\left(\int \frac{\sqrt{1-x^2}x}{\sqrt{1-x^2}}dx+\int \frac{\arcsin \left(x\right)}{\sqrt{1-x^2}}dx\right)

 

Druga przez podstawienie, pierwsza po skróceniu - tablicowa

 

=\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\arcsin ^2\left(x\right)\right)

 

reasumując

 

=\frac{1}{2}\arcsin \left(x\right)\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)-\frac{1}{2}\left(\frac{x^2}{2}+\frac{1}{2}\arcsin ^2\left(x\right)\right)=\\ \frac{1}{2}\left(-\frac{x^2}{2}-\frac{1}{2}\arcsin ^2\left(x\right)\right)+\frac{1}{2}\arcsin \left(x\right)\left(\arcsin \left(x\right)+\frac{1}{2}\sin \left(2\arcsin \left(x\right)\right)\right)+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 22.02.2017 - 10:02

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 04.04.2017 - 22:53

\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{1-x^2}{\sqrt{1-x^2}}\arcsin{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+\int{\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}\left(x\arcsin{x}\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\left(\arcsin{x}+\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right)\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\int{\frac{\arcsin{x}}{\sqrt{1-x^2}}\mbox{d}x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}-\int{x\mbox{d}x}\\</p>\\<p>2\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{2}\arcsin^2{x}+x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{2}x^2+C\\</p>\\<p>\int{\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}\mbox{d}x}=\frac{1}{4}\arcsin^2{x}+\frac{1}{2}x\sqrt{1-x^2}\arcsin{x}-\frac{1}{4}x^2+C\\</p>\\<p>


  • 1





Tematy podobne do: Całaka 14     x