Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka wymierna, Ostrogradskiego

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 20:07

\int \frac{3x+5}{ ( x^{2}+1 )^{3} }dx


Użytkownik Zara Asker edytował ten post 18.02.2017 - 20:07

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3405 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 20.02.2017 - 13:30

*
Najwyższa ocena

\int \frac{3x+5}{ ( x^{2}+1 )^{3} }dx

 

Sposób 1

 

Podstawienie

 

x=tg(u)                      (x^2+1)^3=sec^6(u)                        dx=sec^2(u)du

 

\int \frac{3x+5}{ ( x^{2}+1 )^{3} }dx=\int \frac{sec^4(u)}{sec^6(u)}\cdot (2tg(u)+5))du=\int cos^4(u)(3tg^2(u)+5) du=\int \:3tg^2\left(u\right)\cos ^4\left(u\right)+5\cos ^4\left(u\right)du

 

\int \:3tg^2\left(u\right)\cos ^4\left(u\right)du=3\cdot \int \:\sin ^2\left(u\right)\cos ^2\left(u\right)du=\[\cos ^2\left(x\right)\sin ^2\left(x\right)=\frac{1-\cos \left(4x\right)}{8}\]=3\cdot \int \:\frac{1-\cos \left(4u\right)}{8}du=\frac{3}{8}\left(u-\frac{1}{4}\sin \left(4u\right)\right)+C

 

\int \:5\cos ^4\left(u\right)du=5\cdot \int \:\cos ^3\left(u\right)\cos \left(u\right)du=\[u=\cos ^3\left(u\right),\:u'=-3\cos ^2\left(u\right)\sin \left(u\right),\:\:v'=\cos \left(u\right),\:\:v=\sin \left(u\right)\]=\\5\left(\sin \left(u\right)\cos ^3\left(u\right)-\int \:-3\sin ^2\left(u\right)\cos ^2\left(u\right)du\right)=5\left(\frac{3}{8}\left(u-\frac{1}{4}\sin \left(4u\right)\right)+\sin \left(u\right)\cos ^3\left(u\right)\right)+C

 

Ostatecznie

 

=\frac{3}{8}\left(u-\frac{1}{4}\sin \left(4u\right)\right)+5\left(\frac{3}{8}\left(u-\frac{1}{4}\sin \left(4u\right)\right)+\sin \left(u\right)\cos ^3\left(u\right)\right)+C

 

Można metodą Ostrogradsiego wykorzystać


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.02.2017 - 13:31
dopiszę do tytułu

  • 3

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 853 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 21.02.2017 - 22:02

*
Najwyższa ocena

To podstawienie jest kiepskie pod względem metodyki nauczania bo całki z funkcji wymiernej poznajemy wcześniej

ale za to jakie modne amerykańskie

 

\int{\frac{3x+5}{\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}}{\left(x^2+1\right)^2}+\int{\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+1}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\frac{3x+5}{\left(x^2+1\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+1\right)^2-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\left(1+x^2\right)\cdot 4x}{\left(1+x^2\right)^4}+\frac{b_{1}x+b_{0}}{x^2+1}\\</p>\\<p>\frac{3x+5}{\left(x^2+1\right)^3}=\frac{\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+1\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\cdot 4x+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^4+2x^2+1\right)}{\left(x^2+1\right)^3}\\</p>\\<p>3x+5=\left(3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}\right)\left(x^2+1\right)-\left(a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}\right)\cdot 4x+\left(b_{1}x+b_{0}\right)\left(x^4+2x^2+1\right)\\</p>\\<p>3x+5=3a_{3}x^4+2a_{2}x^3+a_{1}x^2+3a_{3}x^2+2a_{2}x+a_{1}-4a_{3}x^{4}-4a_{2}x^{3}-4a_{1}x^2-4a_{0}x+b_{1}x^5+2b_{1}x^3+b_{1}x+b_{0}x^4+2b_{0}x^2+b_{0}\\</p>\\<p>3x+5=b_{1}x^5+\left(b_{0}-a_{3}\right)x^4+\left(2b_{1}-2a_{2}\right)x^3+\left(2b_{0}+3a_{3}-3a_{1}\right)x^2+\left(b_{1}+2a_{2}-4a_{0}\right)x+a_{1}+b_{0}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}-a_{3}=0\\2b_{1}-2a_{2}=0\\2b_{0}+3a_{3}-3a_{1}=0\\b_{1}+2a_{2}-4a_{0}=3\\a_{1}+b_{0}=5\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{3}\\a_{2}=0\\5a_{3}-3a_{1}=0\\-4a_{0}=3\\a_{3}+a_{1}=5\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{3}\\a_{2}=0\\5a_{3}-3a_{1}=0\\-4a_{0}=3\\3a_{3}+3a_{1}=15\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=a_{3}\\a_{2}=0\\3a_{1}=5a_{3}\\-4a_{0}=3\\8a_{3}=15\end{cases}\\</p>\\<p>\begin{cases}b_{1}=0\\b_{0}=\frac{15}{8}\\a_{3}=\frac{15}{8}\\a_{2}=0\\a_{1}=\frac{25}{8}\\a_{0}=-\frac{6}{8}\end{cases}\\</p>\\<p>\int{\frac{3x+5}{\left(x^2+1\right)^3}\mbox{d}x}=\frac{1}{8}\frac{15x^3+25x-6}{\left(x^2+1\right)^2}+\frac{15}{8}\arctan{\left(x\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 20.09.2017 - 16:47

  • 3