Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Granica funkcji

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 47 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 18.04.2016 - 21:10

Obliczyć granicę bez reguły de l'hospitala
\lim_{x\to \infty} \sqrt{x}(arccos(\frac{x}{x+1}))


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Montes

Montes

    Wymierny

  • Użytkownik
  • 47 postów
2
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 09.02.2017 - 14:58

Kiedyś wrzuciłem na to forum zadanie z prośbą o pomoc w rozwiązaniu, ale nikomu nie udało się go rozwiązać. Wczoraj wróciłem do tego zadania i chyba się udało je pokonać. 

Treść zadania: Obliczyć granicę \lim_{x\to \infty}\sqrt{x}arccos(\frac{x}{x+1}) bez twierdzenie de l'Hospitala.

 

Rozwiązanie:

\lim_{x\to \infty}\frac{x}{x+1} = 1

 

Zauważmy, że arccos(1) = 0

Jeżeli położymy \theta = arccos(\frac{x}{x+1}) to wiemy, że \theta będzie miała wartość bliską zeru.

 

Skoro \theta = arccos(\frac{x}{x+1}) to cos(\theta) = \frac{x}{x+1}

 

Rozpatrzmy więc, trójkąt prostokątny o przeciwprostokątnej x+1, i przyprostokątnych równych x i odpowiednio \sqrt{2x+1}

 

W tym trójkącie tg(\theta) jest równy \frac{\sqrt{2x+1}}{x} a jak wiemy, tg(\alpha) \approx \alpha dla kątów bliskich zera.

 

Czyli mamy:

\frac{\sqrt{2x+1}}{x} = tg(\theta) \approx \theta = arccos(\frac{x}{x+1})

 

Czyli nasza granica wygląda teraz tak
<br>\\\lim_{x\to \infty}\sqrt{x}\frac{\sqrt{2x+1}}{x} = \lim_{x\to \infty}\sqrt{2+\frac{1}{x}} = \sqrt{2}

 

Rozwiązanie wrzuciłem bardziej jako ciekawostke, a może się też komuś przydać.


Użytkownik Montes edytował ten post 09.02.2017 - 14:58

  • 0

#3 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 182 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 18.02.2017 - 19:32

Link


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 20.02.2017 - 00:52
Połączyłem posty

  • 0





Tematy podobne do: Granica funkcji     x