Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Cała cyklo 5

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 200 postów
10
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.02.2017 - 10:43

\int cos(arctg(x))dx


Użytkownik Zara Asker edytował ten post 05.02.2017 - 10:49

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 4210 postów
3410
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 06.02.2017 - 02:12


\int cos(arctg(x))dx

 

\cos(arctg(x))

 

Niech

 

t=arctg(x)    więc    tg(t)=x

 

Wiemy także z wzorów trygonometrycznych i jedynki trygonometrycznej, że: \bl{\fbox{sin^2(x)+cos^2(x)=1\\ tg(x)=\frac{sin(x)}{cos(x)}\\1+tg^2(x)=\frac{cos^2(x)}{cos^2(x)}+\frac{sin^2(x)}{cos^2(x)}=\frac{1}{cos^2(x)}}}

 

\frac{1}{cos^2(t)}=1+tg^2(t)=1+x^2 zgodnie z oznaczeniami, czyli

 

cos^2(t)=\frac{1}{1+x^2}

 

cos(t)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}

 

co daje

 

\fbox{\gr{\cos(arctg(x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}}

 

więc

 

\int \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}dx=sinh(x)+C


  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską