Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie

Całka pierwiastek


  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
1 odpowiedź w tym temacie

#1 culesowa

culesowa

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 4 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 29.12.2016 - 14:59

Mam problem z taką całką,ktoś cos? 
Chodzi o przykład 5.

Załączone miniatury

  • 15801445_1212954245424612_1179616483_n.jpg

Użytkownik culesowa edytował ten post 29.12.2016 - 15:00

  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3357 postów
3034
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 29.12.2016 - 21:01

1.Po pierwsze TeX - patrz regulamin

 

\int x^3\cdot \sqrt{x^2+1}dx

 

Można rozwiązać na kilka sposobów ale...

 

x^2=t    2xdx=dt

 

\int x^3\cdot \sqrt{x^2+1}dx=\int x^2\cdot x \cdot \sqrt{x^2+1}dx=\frac{1}{2}\int t\sqrt{t+1}dt=\frac{1}{2}\int (s-1)\sqrt{s} ds=\frac{1}{2}\int \left(s^{\frac{3}{2}}-\sqrt{s}\right)ds=\frac{1}{2}\int \:s^{\frac{3}{2}}ds-\frac{1}{2}\int \sqrt{s}ds=\frac{s^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{s^{\frac{3}{2}}}{3}+C\\ =\frac{(t+1)^{\frac{5}{2}}}{5}-\frac{(t+1)^{\frac{3}{2}}}{3}+C=\frac{1}{5}\left(x^2+1\right)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}+C

 

albo

 

podstawiamy cały pierwiastek, a co? wolno nam

 

u=\sqrt{x^2+1}\quad\\ du=\frac{x}{u}dx

 

\int \:x^3\sqrt{x^2+1}dx=\int \:x^3u\frac{u}{x}du=\int \:x^2u^2du=\[x^2=u^2-1\]=\int \left(u^2-1\right)u^2du=\int \left(u^4-u^2\right)du=\\=\int \:u^4du-\int \:u^2du=\frac{u^5}{5}-\frac{u^3}{3}+C=\frac{1}{5}\left(x^2+1\right)^{\frac{5}{2}}-\frac{1}{3}\left(x^2+1\right)^{\frac{3}{2}}+C


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 30.12.2016 - 08:52

  • 2

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską






Tematy podobne do: Całka pierwiastek     x