Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Czynnik całkujący

Rachunek różniczkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
2 odpowiedzi w tym temacie

#1 michalak89

michalak89

    Nowicjusz

  • Jr Użytkownik
  • 2 postów
0
Neutralny
  • Płeć:Kobieta

Napisano 05.12.2016 - 10:44

Proszę o pomoc w znalezieniu czynnika całkującego zależnego od jednej zmiennej oraz o rozwiązanie równania:
e^{2x}-y^2+yy'=0


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 bb314

bb314

    miła suczka

  • $Jr Admin
  • Redaktor
  • 3979 postów
4726
Profesor
  • Płeć:Kobieta

Napisano 06.12.2016 - 18:16

\bl e^{2x}-y^2+yy'=0

 

e^{2x}-y^2+y\cd\fr{dy}{dx}=0\ /\cd dx

 

(e^{2x}-y^2)dx+y\,dy=0\ \ \ \(^{*1}\)

 

\{P(x,y)=e^{2x}-y^2\\Q(x,y)=y\gr\ \Rightarrow\ \{\fr{\partial P}{\partial y}=-2y\\\fr{\partial Q}{\partial x}=0\gr\ \Rightarrow\ \fr{\partial P}{\partial y}\neq\fr{\partial Q}{\partial x}

czyli nasze równanie nie jest równaniem różniczkowym zupełnym

w tej sytuacji poszukamy czynnika całkującego zależnego od  x\ \ \ -\ \ \mu(x)

\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\frac{1}{Q\left(x,y\right)}\cdot \left(\frac{\partial P\left(x,y\right)}{\partial y}-\frac{\partial Q\left(x,y\right)}{\partial x}\right)\mbox{d}x=\frac{1}{y}\cdot \left(-2y-0\right)\mbox{d}x=-2\mbox{d}x

 

\int\frac{\mbox{d}\mu}{\mu}=\int(-2)\mbox{d}x\gr\ \Rightarrow\ \ln\mu=-2x\gr\ \Rightarrow\ \bl\mu=e^{-2x}

przez ten czynnik mnożymy równanie  \ \ \ \(^{*1}\)

(1-e^{-2x}y^2)dx+e^{-2x}y\,dy\ \ \ \(^{*2}\)

mamy nowe

\{P(x,y)=1-e^{-2x}y^2\\Q(x,y)=e^{-2x}y\gr\ \Rightarrow\ \{\fr{\partial P}{\partial y}=-2e^{-2x}y\\\fr{\partial Q}{\partial x}=-2e^{-2x}y\gr\ \Rightarrow\ \fr{\partial P}{\partial y}=\fr{\partial Q}{\partial x}

czyli równanie  \ \ \ \(^{*2}\)  jest równaniem różniczkowym zupełnym

\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=P(x,y)=1-e^{-2x}y^2

 

F(x,y)=\int(1-e^{-2x}y^2)dx=x+\fr12e^{-2x}y+\varphi(y)\ \ \ \(^{*3}\)

różniczkujemy tę postać względem y

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\fr12e^{-2x}+\varphi'(y)

z drugiej strony

\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=Q(x,y)\gr\ \Rightarrow\ \fr12e^{-2x}+\varphi'(y)=e^{-2x}y\gr\ \Rightarrow\ \varphi'(y)=e^{-2x}\(y-\fr12\)

 

\varphi(y)=\int e^{-2x}\(y-\fr12\)dy=e^{-2x}\int\(y-\fr12\)dy=e^{-2x}\(\fr12y^2-\fr12y\)-\fr12C

podstawiamy do  \ \ \ \(^{*3}\)

F(x,y)=x+\fr12e^{-2x}y+e^{-2x}\(\fr12y^2-\fr12y\)-\fr12C=x+\fr12e^{-2x}y^2-\fr12C

przyrównujemy  F(x,y)  do zera

x+\fr12e^{-2x}y^2-\fr12C=0\gr\ \Rightarrow\ y^2=(C-2x)e^{2x}\gr\ \Rightarrow\ \re y=\pm e^x\sq{C-2x}

\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ :shifty: \ :shifty:
 

Użytkownik bb314 edytował ten post 06.12.2016 - 22:30

  • 1

\ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ Jeśli chcesz powiedzieć \ \ DZIĘKUJĘ \ \ lub \ \ ŁAŁ \ \  to zaloguj się i kliknij znak\ rep_up.png\ nad kreską.\bl\ \ \ \nearrow
..
..
..
..
..
..


#3 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 849 postów
389
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 25.03.2017 - 17:20

Ciekawe czemu chcą aby sprowadzać do zupełnego skoro można sprowadzić do liniowego
lub od razu zastosować podstawienie zaproponowane przez Bernoulliego

y=uv


  • 0





Tematy podobne do: Czynnik całkujący     x