Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka 9

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
8 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 166 postów
7
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.11.2016 - 14:44

\int \frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 kerajs

kerajs

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 9 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.11.2016 - 05:06

\int\frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx=[t=\frac{1}{x}]=-\int\sqrt{t+1}dt=....


Użytkownik kerajs edytował ten post 14.11.2016 - 05:07

  • 0

#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3294 postów
2775
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.11.2016 - 12:47

metoda całkowania różniczek dwumiennych

 

 

\int\frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx= z licznika wyciągamy \sqrt{x^3}

 

\int\frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx=\int\frac{\sqrt{x^3}\sqrt{1+x}}{x^4}dx=\int x^{-\frac{5}{2}}(1+x)^{\frac{1}{2}}dx

 

czyli mamy

 

x^p(a+bx^n)^q=x^{-\frac{5}{2}}(1+x)^{\frac{1}{2}}

 

stad

 

\frac{m+1}{n}+p=-1   

 

i teraz podstawienie

 

t^2=\frac{x+1}{x}=x^{-1}+1                  2 dt=-x^{-2}dx

 

\int x^{-\frac{5}{2}}(1+x)^{\frac{1}{2}}dx=\int x^{-\frac{5}{2}}(x(x^{-1}+1))^{\frac{1}{2}}dx=\int x^{-2}(x^{-1}+1)^{}\frac{1}{2} dx=\int -2t^2dt=-\frac{2}{3}t^3+C=-\frac{2}{3}\sqrt{\frac{x+1}{x}}^3+C

 

 

 

 

--------------------

Może tylko lekko wyprowadzę to co u kolegi wyżej

 

\int\frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx=\int \frac{\sqrt{x^4}\sqrt{\frac{1}{x}+1}}{x^4}dx=\int \frac{\sqrt{\frac{1}{x}+1}}{x^2}dx 

 

i teraz t=\frac{1}{x}           dt=-\frac{1}{x^2}dx

 

i się upraszcaz


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 00:45

  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 kerajs

kerajs

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 9 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.11.2016 - 15:52

@Jarekzulus

 

Intryguje mnie poprawność (i dopuszczalność) Twojego przekształcenia:

</p>\\<p></p>\\<p>\int\frac{\sqrt{x^3+x^4}}{x^4}dx=\int\frac{\sqrt{x^3}\sqrt{x+1}}{x^4}dx</p>\\<p>

 

skoro lewe i prawe wyrażenia podcałkowe mają różne dziedziny.                

 


  • 0

#5 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3294 postów
2775
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 14.11.2016 - 18:45

Rozwiąż do końca swoim a zobaczysz jaki wynik otrzymasz

 

Jedna dziedzina jest podzbiorem drugiej. Dla x>0 mamy tożsamość


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#6 kerajs

kerajs

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 9 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 08:04

Bynajmniej nie forsuję swojego rozwiązania, choć jest prostsze i szybsze, ale mam wątpliwości co do poprawności Twojego przekształcenia.          
Dziedziną wyrażenia podcałkowego, jak i rozwiązania, jest x\in(-\infty;-1>\cup(0;\infty). Ty po przekształceniu masz x\in(0;\infty) czyli pomijasz obszar gdzie pierwotna całka była określona. A to raczej poprawnym nie jest, nieprawdaż? 


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 08:58
Edytowałem do wersji której chciałeś

  • 0

#7 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3294 postów
2775
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 09:35

Rozumiem wątpliwości w sumie też się zastanawiam, ale jak rozwiązałbyś taką całkę

 

\int (\sqrt{x}\cdot \sqrt{x})dx

 

i co powiesz o dziedzinie.

 

 

-------

I może zrobię tak z czym się mam nadzieję zgodzisz albo i nie

 

Moje rozwiązanie jest prawidłowe dla x>0 cóż tego jestem pewien bo przekształcenie dla takich x jest tożsamościowe

 

Teraz należałoby założyć, że x\in(-\infty,-1] i przeprowadzić całkowanie

 

W jego wyniku dostaniemy rodzinę funkcji jak w 1 przypadku o czym się jednak należny przekonać całkując


Użytkownik Jarekzulus edytował ten post 15.11.2016 - 09:46

  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#8 kerajs

kerajs

    Ułamek

  • Użytkownik
  • 9 postów
3
Neutralny
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 14:00

Akurat Twój przykład nie jest adekwatny gdyż pierwotne założenie x\geq0 odnosi się także do wyniku.

 

Wracając do problematycznej równosci to dla x\leq-1 , tak jak piszesz, należy sprawdzić czy wychodzi taki sam wynik jeśli przekształceniem będzie:

\int\frac{\sqrt{x^4+x^3}}{x^4}dx=\int\frac{\sqrt{-x^3}\sqrt{-x-1}}{x^4}dx

 

Sorry za zamieszanie.                                  
                                    


  • 0

#9 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3294 postów
2775
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 14:23

Nie ma za co przepraszać. W sumie ciekawe rozkminy :)


  • 0

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską