Skocz do zawartości

  •  
  • Mini kompendium
  • MimeTeX
  • Regulamin

Zdjęcie
        STUDIA        

Całka niewymierna 7

Rachunek całkowy

  • Nie możesz napisać tematu
  • Zaloguj się aby odpowiedzieć
3 odpowiedzi w tym temacie

#1 Zara Asker

Zara Asker

    Kombinator

  • Użytkownik
  • 188 postów
9
Mały Pomocnik I
  • Płeć:Kobieta

Napisano 13.11.2016 - 14:41

\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx


  • 0

Afroman

    Kombinator

  • Użytkownik
3
  • Płeć:Kobieta

Napisano 25.09.2011 - 17:55

#2 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3409 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 13:46

\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx

 

t^2=x^2-4         x^2=t^2+4

 

t=\sqrt{x^2-4}       dx=\frac{t}{\sqrt{t^2+4}}dt

 

 

\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx=\int \frac{t}{\sqrt{t^2+4}}\cdot \frac{t}{\sqrt{t^2+4}}dt=\int \frac{t^2}{t^2+4}dt=\int \:1-\frac{4}{t^2+4}dt=[\mbox{ do arctg}]=\sqrt{x^2-4}-2arctg \left(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\right)+C


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#3 Jarekzulus

Jarekzulus

    Wielki Analityk

  • +Mods
  • Redaktor
  • 3409 postów
3046
Profesor
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 15.11.2016 - 14:20

Inne podejście

 

Podstawienie x=\frac{2}{cos(t)}             dx=\frac{2sin(t)}{cos^2(t)}dt=(2tg(t)\cdot \frac{1}{cos(t)})dt

 

\sqrt{x^2-4}=2tg(t)

 

\int \frac{\sqrt{x^2-4}}{x}dx=\int \frac{2tg(t)}{\frac{2}{cos(t)}}\cdot (tg(t)\cdot \frac{1}{cos(t)})dt=2\int tg^2(t)dt

 

2\int tg^2(t)dt=2\int \(\frac{1}{cos^2(x)}-1\)dt=2tg(t)-2t

 

t=arctg\(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\)

 

2tg(t)-2t=\sqrt{x^2-4}-2arctg\(\frac{\sqrt{x^2-4}}{2}\)+C


  • 1

:wave: :wave: :wave: Jeśli rzuciłem choć promyczek światła na problem który postawiłeś - podziękuj. pre_1433974176__syg.jpgNad kreską


#4 Mariusz M

Mariusz M

    Wielki Analityk

  • Użytkownik
  • Redaktor
  • 859 postów
392
Instruktor II
  • Płeć:Mężczyzna

Napisano 26.11.2017 - 04:44

\int{\frac{\sqrt{x^2-4}}{x}\mbox{d}x}\\</p>\\<p>\sqrt{x^2-4}=t-x\\</p>\\<p>x^2-4=t^2-2tx+x^2\\</p>\\<p>-4=t^2-2tx\\</p>\\<p>2tx=t^2+4\\</p>\\<p>x=\frac{t^2+4}{2t}\\</p>\\<p>t-x=\frac{2t^2-t^2-4}{2t}=\frac{t^2-4}{2t}\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{2t\cdot 2t-2(t^2+4)}{4t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\mbox{d}x=\frac{t^2-4}{2t^2}\mbox{d}t\\</p>\\<p>\int{\frac{t^2-4}{2t}\cdot\frac{2t}{t^2+4}\cdot\frac{t^2-4}{2t^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{(t^2-4)^2}{t^2(t^2+4)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{(t^2+4)^2-16t^2}{t^2(t^2+4)}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{1}{2}\int{\frac{t^2+4}{t^2}\mbox{d}t}-8\int{\frac{1}{t^2+4}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{t}{2}-\frac{2}{t}-2\int{\frac{1}{1+\left(\frac{t}{2}\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{t}{2}-\frac{2}{t}-4\int{\frac{\frac{1}{2}}{1+\left(\frac{t}{2}\right)^2}\mbox{d}t}\\</p>\\<p>\frac{t}{2}-\frac{2}{t}-4\arctan{\left(\frac{t}{2}\right)}+C\\</p>\\<p>\frac{t^2-4}{2t}-4\arctan{\left(\frac{t}{2}\right)}+C\\</p>\\<p>=\sqrt{x^2-4}-4\arctan{\left(\frac{x+\sqrt{x^2-4}}{2}\right)}+C</p>\\<p>


Użytkownik Mariusz M edytował ten post 26.11.2017 - 04:45

  • 0